5. Построить график функции f(x) = x³ - 2x² + x - 1

Привет! Давай построим график этой функции вместе. Это совсем не сложно, если делать всё по шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная поможет нам найти точки максимумов и минимумов, а также интервалы возрастания и убывания функции.

• \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 2x^2 + x - 1) \]
• \[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки — это те, в которых производная равна нулю или не существует. Для нашей функции производная существует всегда, поэтому приравняем её к нулю.

• \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4  3  1 = 16 - 12 = 4 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]
• \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2  3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
• \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2  3} = \frac{6}{6} = 1 \]

Итак, критические точки: x = 1/3 и x = 1.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания.

Расставим критические точки на числовой оси и проверим знак производной в каждом интервале.

• Интервал (–∞; 1/3): Возьмем x = 0. f'(0) = 3(0)² - 4(0) + 1 = 1 > 0. Функция возрастает.
• Интервал (1/3; 1): Возьмем x = 0.5. f'(0.5) = 3(0.5)² - 4(0.5) + 1 = 3(0.25) - 2 + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 < 0. Функция убывает.
• Интервал (1; +∞): Возьмем x = 2. f'(2) = 3(2)² - 4(2) + 1 = 3(4) - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0. Функция возрастает.

Шаг 4: Найдем точки экстремума.

В точке x = 1/3 функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума.

• \[ f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + (1/3) - 1 \]
• \[ f(1/3) = 1/27 - 2(1/9) + 1/3 - 1 \]
• \[ f(1/3) = 1/27 - 6/27 + 9/27 - 27/27 = (1 - 6 + 9 - 27) / 27 = -23/27 \]

Точка максимума: (1/3; -23/27)

В точке x = 1 функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума.

• \[ f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1 \]

Точка минимума: (1; -1)

Шаг 5: Найдем точки пересечения с осями координат.

С осью Y: Подставим x = 0.

• \[ f(0) = (0)^3 - 2(0)^2 + 0 - 1 = -1 \]

Точка пересечения с осью Y: (0; -1)

С осью X: Подставим y = 0 (решим уравнение f(x) = 0).

• \[ x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0 \]

Это кубическое уравнение. Его корни не всегда легко найти. Для построения графика можно найти приблизительные значения или использовать численные методы. Для простоты построения, мы можем использовать найденные экстремумы и точки пересечения.

Шаг 6: Строим график.

Используя найденные точки и информацию об интервалах возрастания/убывания, мы можем нарисовать график функции.

1. Отметьте точки: (1/3; -23/27), (1; -1), (0; -1).
2. Помните, что функция возрастает до x=1/3, убывает до x=1, и снова возрастает после x=1.
3. Плавно соедините точки, учитывая форму графика кубической функции.

(Здесь должен быть визуальный график, который я не могу сгенерировать. Используйте эти данные для построения в любом графическом редакторе или на бумаге.)

Основные характеристики функции:

• Область определения: Все действительные числа (ℝ).
• Область значений: Все действительные числа (ℝ).
• Точка максимума: (1/3; -23/27)
• Точка минимума: (1; -1)
• Пересечение с осью Y: (0; -1)