5. Построить график функции y = x² + 4x - 5 и указать промежутки ее возрастания и убывания

Решение:

Построим график функции \( y = x^2 + 4x - 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (равен 1).

1. Найдем вершину параболы:
   Абсцисса вершины \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \>.
   Ордината вершины \( y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \>.
   Вершина параболы находится в точке \( (-2, -9) \).
2. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):
   Приравняем \( y = 0 \): \( x^2 + 4x - 5 = 0 \>.
   Используем дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \>.
   \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
   \[ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
   \[ x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \>.
   График пересекает ось Ox в точках \( (-5, 0) \) и \( (1, 0) \>.
   
3. Найдем точку пересечения с осью Oy:
   При \( x = 0 \): \( y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 \>.
   График пересекает ось Oy в точке \( (0, -5) \>.
   
4. Найдем дополнительные точки для построения графика:
   Так как вершина находится в \( x = -2 \), найдем точки симметрично ей.
   При \( x = -1 \) (симметрично \( x = -3 \)): \( y = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 \>.
   При \( x = 0 \) (симметрично \( x = -4 \)): \( y = -5 \>.
   При \( x = 1 \) (симметрично \( x = -5 \)): \( y = 0 \>.
   

Промежутки возрастания и убывания:

Функция возрастает при \( x \geq x_0 \), то есть при \( x \geq -2 \>.
Функция убывает при \( x \leq x_0 \), то есть при \( x \leq -2 \>.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке \( (-2, -9) \), нулями функции в \( x = -5 \) и \( x = 1 \). Возрастает на промежутке \( [-2; +\infty) \), убывает на промежутке \( (-\infty; -2] \).