5. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Пусть \( A \) — событие, что лампа перегорит в течение года. Тогда \( P(A) = 0.4 \).

Событие, что лампа не перегорит, является противоположным событием \( \overline{A} \). Его вероятность равна:

\( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Нас интересует вероятность того, что хотя бы одна лампа НЕ перегорит. Проще найти вероятность противоположного события: что ВСЕ лампы перегорят.

Пусть \( L_1, L_2, L_3 \) — события, что первая, вторая и третья лампы перегорят соответственно. Вероятность перегорания каждой лампы независима и равна 0.4.

Вероятность того, что все три лампы перегорят:

\( P(L_1 \cap L_2 \cap L_3) = P(L_1) × P(L_2) × P(L_3) = 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064 \).

Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» является противоположным событию «все лампы перегорят».

Следовательно, вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна:

\( 1 - P(\text{все лампы перегорят}) = 1 - 0.064 = 0.936 \).

Ответ: 0,936.