5. Поезд должен пройти 420 км за определённое время. Однако по техническим причинам выехал на 30 мин позже. Чтобы прибыть вовремя, он увеличил скорость на 2 км/ч. Какова была скорость поезда?

Решение:

1. Обозначим первоначальную скорость поезда как \(v\) км/ч.
2. Время, за которое поезд должен был пройти 420 км: \(t_1 = \frac{420}{v}\) часов.
3. Поезд выехал на 30 минут (0,5 часа) позже.
4. Новая скорость поезда: \(v+2\) км/ч.
5. Время, за которое поезд фактически прошёл 420 км: \(t_2 = \frac{420}{v+2}\) часов.
6. Так как поезд прибыл вовремя, то \(t_1 = t_2 + 0.5\).
7. Подставим выражения для времени: \(\frac{420}{v} = \frac{420}{v+2} + 0.5\).
8. Приведём к общему знаменателю \(v(v+2)\): \(420(v+2) = 420v + 0.5v(v+2)\).
9. Раскроем скобки: \(420v + 840 = 420v + 0.5v^2 + v\).
10. Упростим уравнение: \(840 = 0.5v^2 + v\).
11. Умножим на 2: \(1680 = v^2 + 2v\).
12. Перенесём все члены в одну часть: \(v^2 + 2v - 1680 = 0\).
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 2^2 - 4(1)(-1680) = 4 + 6720 = 6724\).
14. \(\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82\).
15. Найдем корни: \(v_1 = \frac{-2+82}{2} = \frac{80}{2} = 40\). \(v_2 = \frac{-2-82}{2} = \frac{-84}{2} = -42\).
16. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v=40\) км/ч.

Ответ: 40 км/ч.