5. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 37,4 см. Найдите стороны треугольника, если известно, что АС : AB = 5 : 3.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника АВС равны \( AB = BC = x \) см, а основание \( AC = y \) см.

По условию, периметр треугольника равен 37,4 см: \( AB + BC + AC = 37,4 \), то есть \( x + x + y = 37,4 \) или \( 2x + y = 37,4 \).

Также известно, что отношение основания к боковой стороне равно 5:3, то есть \( AC : AB = 5 : 3 \). Следовательно, \( y : x = 5 : 3 \).

Из этого соотношения выразим \( y \) через \( x \): \( 3y = 5x \), значит \( y = \frac{5}{3}x \).

Подставим это выражение для \( y \) в уравнение периметра: \( 2x + \frac{5}{3}x = 37,4 \).

Приведём к общему знаменателю: \( \frac{6x + 5x}{3} = 37,4 \) или \( \frac{11x}{3} = 37,4 \).

Найдем \( x \): \( 11x = 37,4 \cdot 3 \), \( 11x = 112,2 \), \( x = \frac{112,2}{11} = 10,2 \).

Таким образом, боковые стороны равны \( AB = BC = 10,2 \) см.

Теперь найдем длину основания \( AC \): \( y = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot 10,2 = 5 \cdot 3,4 = 17 \) см.

Проверим периметр: \( 10,2 + 10,2 + 17 = 20,4 + 17 = 37,4 \) см. Условие выполнено.

Ответ: стороны треугольника равны 10,2 см, 10,2 см и 17 см.