5. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\( AC \) и \( BD \) — диаметры окружности с центром \( O \). Угол \( ACB = 54° \).

Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \).

\[ \angle AOB = 2 \cdot 54° = 108° \]

Углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные, и \( AOB \) и \( DOC \) — вертикальные. Углы \( AOD \) и \( BOC \) — также вертикальные.

Угол \( AOD \) является смежным с углом \( AOB \) (или \( BOC \)), поэтому их сумма равна 180°.

\( \angle AOD + \angle AOB = 180° \)

\[ \angle AOD = 180° - \angle AOB = 180° - 108° = 72° \]

Также, углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные, значит \( \angle AOD = \angle BOC \).

Угол \( BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \). Вписанный угол \( BAC \) опирается на дугу \( BC \).

В треугольнике \( BOC \): \( OB = OC \) (радиусы), значит он равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).

Угол \( ACB = 54° \). Так как \( AC \) — диаметр, то угол \( ABC \) — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому \( \angle ABC = 90° \).

В треугольнике \( ABC \): \( \angle BAC = 180° - 90° - 54° = 36° \).

Центральный угол \( BOC = \angle BAC = 36° \).

Угол \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные, значит \( \angle AOD = \angle BOC = 36° \).

Ответ: 36°.