5. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках К, М и Т соответственно. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 6, АК = 3, BM = 6, CT = 9.

Решение:

Обозначим длины отрезков от вершин до точек касания:

• \( AK = AT = 3 \)
• \( BK = BM = 6 \)
• \( CM = CT = 9 \)

Теперь найдем длины сторон треугольника:

• \( AB = AK + KB = 3 + 6 = 9 \)
• \( BC = BM + MC = 6 + 9 = 15 \)
• \( AC = AT + TC = 3 + 9 = 12 \)

Полупериметр треугольника \( p \) равен:

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{9 + 15 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

Площадь треугольника \( S \) можно найти по формуле:

\[ S = p \cdot r \]

где \( p \) — полупериметр, а \( r \) — радиус вписанной окружности.

Подставим известные значения:

\[ S = 18 \cdot 6 = 108 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 108.