5. Окр (O,R), AB (касательная) = 6, AO (секущая) = 10. Вычислите, чему равен радиус.

Решение:

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Пусть точка касания — B, а секущая пересекает окружность в точках C и D, где A-C-D. Тогда \( AB \) — касательная, \( AD \) — секущая.

По условию, \( AB = 6 \) и \( AO = 10 \).

У нас есть \( AB^2 = AC · AD \).

Из рисунка, \( AO \) — секущая. Точка B — точка касания. Точки пересечения секущей с окружностью обозначим как C и D, так что A-C-D.

Тогда \( AB^2 = AC · AD \).

Мы знаем, что \( AB = 6 \) и \( AO = 10 \).

Пусть \( R \) — радиус окружности. Тогда \( OC = OD = R \).

Из рисунка, \( AO \) — секущая, и точка B — точка касания. \( AB \) — касательная. \( AO \) пересекает окружность в точках C и D, где C ближе к A. Тогда \( AC = AO - OC \) и \( AD = AO + OD \).

Но в данном случае, из рисунка, \( AO \) является секущей, которая проходит через центр O. Точка B — точка касания. Тогда \( AB \) — касательная. \( AO \) секущая, пересекающая окружность в двух точках, обозначим их как C и D, где C - ближайшая к A. Тогда \( AC = AO - R \) и \( AD = AO + R \).

Применяем теорему о касательной и секущей:

\[ AB^2 = AC · AD \]

\[ 6^2 = (AO - R) · (AO + R) \]

\[ 36 = AO^2 - R^2 \]

Подставляем значение \( AO = 10 \):

\[ 36 = 10^2 - R^2 \]

\[ 36 = 100 - R^2 \]

\[ R^2 = 100 - 36 \]

\[ R^2 = 64 \]

\[ R = √64 \]

\[ R = 8 \]

Ответ: 8.