5. Найдите значение выражения, если \(\alpha = 60^{\circ}, \beta = 30^{\circ}\).

Решение:

Дано выражение: \( \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)} \)

Используем формулу суммы косинусов: \( \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \).

Подставляем это в знаменатель нашего выражения:

\( \frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta} \)

Сокращаем \( 2 \cos \beta \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Это равно тангенсу \( \alpha \):

\( \tan \alpha \)

Теперь подставим значение \( \alpha = 60^{\circ} \):

\( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \)

Значение \( \beta = 30^{\circ} \) не используется в итоговой формуле.

Ответ: \( \sqrt{3} \).