5. Найдите все пары натуральных чисел. Введите ответы в предложенные ниже поля. В ответе укажите только число без пробелов. Сначала введите пару чисел, сумма которых меньше.

Решение:

Найдем все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.

Обозначим искомые числа как \( a \) и \( b \), где \( a, b \in \mathbb{N} \).

По условию задачи: \( a^2 - b^2 = 33 \).

Разложим левую часть уравнения на множители:

\( (a - b)(a + b) = 33 \).

Так как \( a \) и \( b \) — натуральные числа, то \( a - b \) и \( a + b \) также являются натуральными числами.

Кроме того, \( a + b > a - b \).

Найдем пары множителей числа 33:

1) \( 1 \times 33 = 33 \)

2) \( 3 \times 11 = 33 \)

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1:

\( a - b = 1 \)

\( a + b = 33 \)

Сложим оба уравнения:

\( (a - b) + (a + b) = 1 + 33 \)

\( 2a = 34 \)

\( a = 17 \)

Подставим \( a = 17 \) в первое уравнение:

\( 17 - b = 1 \)

\( b = 16 \)

Проверим: \( 17^2 - 16^2 = 289 - 256 = 33 \). Пара \( (17, 16) \) подходит.

Случай 2:

\( a - b = 3 \)

\( a + b = 11 \)

Сложим оба уравнения:

\( (a - b) + (a + b) = 3 + 11 \)

\( 2a = 14 \)

\( a = 7 \)

Подставим \( a = 7 \) в первое уравнение:

\( 7 - b = 3 \)

\( b = 4 \)

Проверим: \( 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33 \). Пара \( (7, 4) \) подходит.

Сумма чисел в первой паре: \( 17 + 16 = 33 \).

Сумма чисел во второй паре: \( 7 + 4 = 11 \).

Так как \( 11 < 33 \), то парой чисел, сумма которых меньше, является \( (7, 4) \).

Ответ: (7, 4), (17, 16)