5) Найдите угол CDO, если его сторона DC касается окружности, O - центр окружности, а дуга AC окружности, заключённая внутри этого угла, равна 130°.

Решение:

Нам дан угол CDO, где DC — касательная к окружности, O — центр окружности, а дуга AC внутри угла равна 130°.

1. Свойство касательной: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол OCD равен 90°.

2. Центральный угол: Величина центрального угла, опирающегося на дугу AC, равна величине самой дуги. Значит, угол AOC равен 130°.

3. Сумма углов в треугольнике: Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, так как OA и OC — радиусы окружности. Углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA \).

Сумма углов треугольника равна 180°: \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180° \).
\( 130° + 2 \angle OCA = 180° \)
\( 2 \angle OCA = 180° - 130° \)
\( 2 \angle OCA = 50° \)
\( \angle OCA = 25° \)

4. Угол CDO: Теперь найдём искомый угол CDO. Мы знаем, что \( \angle OCD = 90° \) и \( \angle OCA = 25° \).
\( \angle CDO = \angle OCD - \angle OCA \)
\( \angle CDO = 90° - 25° \)
\( \angle CDO = 65° \)

Ответ: Угол CDO равен 65°.