5. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 3x^3 - 36x + 23

Решение:

Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Найдем производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = (3x^3 - 36x + 23)' \)

\( f'(x) = 9x^2 - 36 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 9x^2 - 36 = 0 \)

\( 9x^2 = 36 \)

\( x^2 = \frac{36}{9} \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \)

Теперь определим знаки производной на интервалах \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 2) \) и \( (2; +\infty) \).

• Возьмём \( x = -3 \) (интервал \( (-\infty; -2) \)): \( f'(-3) = 9(-3)^2 - 36 = 9 \cdot 9 - 36 = 81 - 36 = 45 > 0 \). Функция возрастает.
• Возьмём \( x = 0 \) (интервал \( (-2; 2) \)): \( f'(0) = 9(0)^2 - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.
• Возьмём \( x = 3 \) (интервал \( (2; +\infty) \)): \( f'(3) = 9(3)^2 - 36 = 9 \cdot 9 - 36 = 81 - 36 = 45 > 0 \). Функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на интервале \( (-2; 2) \).

Ответ: \( [-2; 2] \).