5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке a) f(x) = x³ - 2x² + x - 3, [1/2; 2] б) f(x) = 4 / (x + 1) + x, [0; 3]

5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

1. a) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3 \) на \( [1/2; 2] \)
   
   • Найдём производную: \( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)
   • Найдём критические точки: \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \)
     \( x_1 = 1/3 \), \( x_2 = 1 \)
   • Проверим, попадают ли критические точки в отрезок [1/2; 2]: \( x_1 = 1/3 \) не входит в отрезок. \( x_2 = 1 \) входит в отрезок.
   • Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:
     • \( f(1/2) = (1/2)^3 - 2(1/2)^2 + 1/2 - 3 = 1/8 - 2(1/4) + 1/2 - 3 = 1/8 - 1/2 + 1/2 - 3 = 1/8 - 3 = 1/8 - 24/8 = -23/8 \)
     • \( f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3 \)
     • \( f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 - 3 = 8 - 2(4) + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1 \)
   • Сравним полученные значения: \( -23/8 = -2.875 \), \( -3 \), \( -1 \)

   Наибольшее значение: -1. Наименьшее значение: -3.

2. б) \( f(x) = \frac{4}{x+1} + x \) на \( [0; 3] \)
   
   • Найдём производную: \( f'(x) = \frac{-4}{(x+1)^2} + 1 \)
   • Найдём критические точки: \( \frac{-4}{(x+1)^2} + 1 = 0 \)
     \( \frac{-4 + (x+1)^2}{(x+1)^2} = 0 \)
     \( (x+1)^2 = 4 \)
     \( x+1 = \pm 2 \)
   • Вычислим значения x:
     \( x+1 = 2 \Rightarrow x = 1 \)
     \( x+1 = -2 \Rightarrow x = -3 \)
   • Проверим, попадают ли критические точки в отрезок [0; 3]: \( x = 1 \) входит в отрезок. \( x = -3 \) не входит в отрезок.
   • Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:
     • \( f(0) = \frac{4}{0+1} + 0 = 4 \)
     • \( f(1) = \frac{4}{1+1} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \)
     • \( f(3) = \frac{4}{3+1} + 3 = \frac{4}{4} + 3 = 1 + 3 = 4 \)
   • Сравним полученные значения: 4, 3, 4

   Наибольшее значение: 4. Наименьшее значение: 3.

Ответ: a) Наибольшее значение = -1, Наименьшее значение = -3. б) Наибольшее значение = 4, Наименьшее значение = 3.