5. Найдите координаты вершины параболы y=x^2+4x-5 и координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Решение:

Дана парабола \( y = x^2 + 4x - 5 \).

1. Найдём координаты вершины параболы.

Координаты вершины параболы \( (x_0, y_0) \) можно найти по формулам:

\( x_0 = -\frac{b}{2a} \)

\( y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c \)

В данном уравнении \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -5 \).

1. Найдем абсциссу вершины: \( x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2 \).
2. Найдем ординату вершины: \( y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \).

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, -9) \).

2. Найдём координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Пересечение с осью OY:

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, нужно положить \( x = 0 \) в уравнении параболы:

\( y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 \).

Точка пересечения с осью OY: \( (0, -5) \).

Пересечение с осью OX:

Чтобы найти точки пересечения с осью OX, нужно положить \( y = 0 \) и решить квадратное уравнение:

\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Точки пересечения с осью OX: \( (1, 0) \) и \( (-5, 0) \).

Ответ: Координаты вершины параболы: \( (-2, -9) \). Координаты точек пересечения с осями координат: \( (0, -5) \), \( (1, 0) \) и \( (-5, 0) \).