5. Найди площадь и периметр квадрата ABCD, если KM = 4,1 см, K — середина AB. На рисунке M — точка пересечения диагоналей квадрата.

В квадрате диагонали пересекаются в центре, поэтому \(M\) — центр квадрата. Отрезок \(KM\) соединяет середины двух соседних сторон: \(K\) — середина стороны \(AB\), а проекция центра на сторону \(AB\) находится в середине этой стороны.

Следовательно, треугольник с катетами \(\frac a2\) и \(\frac a2\) имеет гипотенузу \(KM\):

\[KM=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt2}{2}.\]

При \(KM=4.1\) см:

\[a=\frac{2\cdot4.1}{\sqrt2}=4.1\sqrt2\text{ см}.\]

Площадь:

\[S=a^2=(4.1\sqrt2)^2=33.62\text{ см}^2.\]

Периметр:

\[P=4a=4\cdot4.1\sqrt2=16.4\sqrt2\text{ см}\approx23.2\text{ см}.\]

Ответ: \(S=33,62\text{ см}^2\); \(P=16,4\sqrt2\text{ см}\approx23,2\text{ см}\).