5. На высоте равнобедренного ΔABC, проведённой к основанию AC, взята точка P, а на сторонах AB и BC — точки M и K соответственно (точки M, P и K не лежат на одной прямой). Известно, что BM = BK. Докажите, что: а) углы BMR и BKP равны; б) углы KMP и PKM равны.

В условии, вероятно, имеется опечатка: точка \(R\) не определена. Поэтому угол \(BMR\) определить нельзя.

Если в пункте а) имелся в виду угол \(BMP\), то доказательство можно провести следующим образом. Высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к основанию \(AC\), является осью симметрии треугольника. При симметрии относительно этой высоты сторона \(AB\) переходит в сторону \(BC\), точка \(M\) — в точку \(K\), а точка \(P\), лежащая на высоте, остаётся на месте. Поэтому соответствующие углы равны: \(\angle BMP=\angle BKP\).

Из равенства \(BM=BK\) следует, что треугольник \(BMK\) равнобедренный. Кроме того, симметрия относительно высоты переводит точку \(M\) в точку \(K\), поэтому отрезок \(MP\) переходит в отрезок \(KP\). Следовательно, треугольники \(KMP\) и \(PKM\) имеют равные соответствующие углы, откуда

\[\angle KMP=\angle PKM.\]

Ответ: пункт а) требует уточнения обозначения точки R; при исправлении \(R\) на \(P\) оба утверждения следуют из симметрии равнобедренного треугольника.