5. На рисунке точка М является серединой отрезков АС и ВД. Докажите, что прямые ВС и АД параллельны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle BCM \) и \( \triangle DAM \).

• По условию, \( M \) — середина \( AC \), значит, \( AM = MC \).
• По условию, \( M \) — середина \( BD \), значит, \( BM = MD \).
• Углы \( \angle BMC \) и \( \angle DMA \) равны как вертикальные.

Следовательно, \( \triangle BCM = \triangle DAM \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

\( \angle MBC = \angle MDA \) и \( \angle MCB = \angle MAD \).

Углы \( \angle MBC \) и \( \angle MDA \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( BC \) и \( AD \) секущей \( BD \). Так как эти углы равны, то \( BC \parallel AD \).

Углы \( \angle MCB \) и \( \angle MAD \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \( BC \) и \( AD \) секущей \( AC \). Так как эти углы равны, то \( BC \parallel AD \).

Что и требовалось доказать.