5) (m + \(\frac{m^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}\)) \(\cdot\) (\(\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}\) + \(\frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}\))

Решение:

Сначала упростим первое выражение в скобках:

\( m + \frac{m^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} = m + m^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = m + m^1 = m + m = 2m \)

Теперь упростим второе выражение в скобках:

\( (\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}) + (\frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}) = (1 - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}) + (\frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}}) \)

Заметим, что \( \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} = 0 \). Поэтому второе выражение упрощается:

\( 1 - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}} + 0 = 1 - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} \)

Теперь перемножим упрощённые выражения:

\( 2m \cdot (1 - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}) = 2m - 2m \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} = 2m - 2\sqrt{m^2} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}} \)

= \( 2m - 2\sqrt{\frac{m^2
}{m}} = 2m - 2\sqrt{mn} \)

Ответ: \( 2m - 2\sqrt{mn} \).