5. Луч от точечного источника S падает на плоское зеркало в точке А и, отражаясь, проходит через точку В (рис. 7.11). Докажите, что если бы луч от того же источника прошёл через точку В, отразившись от зеркала в точке D, то: 1) не был бы выполнен закон отражения; 2) путь SDB был бы пройден светом за большее время, чем путь SAB.

Решение:

Доказательство пункта 1:

Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Луч SA падает на зеркало в точке А и отражается в направлении АВ. Угол падения \( ∠ SAI \) (где I — перпендикуляр к зеркалу в точке А) равен углу отражения \( ∠ IAB \).

Рассмотрим гипотетический луч, идущий от S, отражающийся в точке D и проходящий через B. Для того чтобы этот луч прошёл через B, он должен удовлетворять закону отражения в точке D. Угол падения \( ∠ SDB' \) (где B' — перпендикуляр к зеркалу в точке D) должен быть равен углу отражения \( ∠ BDB'' \).

Из рисунка 7.11 видно, что точки S, A, B и D лежат в одной плоскости. Точка А и точка D лежат на зеркале. Луч SA отражается в AB. Если бы луч от S прошёл через B, отразившись в D, то точка D была бы другой точкой на зеркале. В этом случае, угол падения в точке D \( ∠ SDB' \) не будет равен углу отражения \( ∠ BDD' \), потому что траектория SA→AB является оптимальной с точки зрения закона отражения для получения луча AB из S. Если бы луч прошёл через B, отразившись в D, то это нарушило бы принцип Ферма (принцип наименьшего времени), который лежит в основе закона отражения. По принципу Ферма, луч света выбирает путь, который занимает наименьшее время. Следовательно, траектория SAB является путём наименьшего времени, и любая другая траектория, например SDB, будет занимать больше времени и не будет соответствовать закону отражения.

Таким образом, если бы луч прошёл через точку B, отразившись от зеркала в точке D, то закон отражения был бы нарушен.

Доказательство пункта 2:

Согласно принципу Ферма, луч света распространяется по тому пути, который требует наименьшего времени. Время распространения света по пути SAB равно \( t_{SAB} = \frac{SA + AB}{c} \), где \( c \) — скорость света в среде. Время распространения света по пути SDB равно \( t_{SDB} = \frac{SD + DB}{c} \).

Из закона отражения следует, что для плоского зеркала, траектория света от источника S до точки на зеркале А и затем до точки наблюдения B является путём с наименьшим временем. Это можно доказать, построив мнимое изображение источника S' за зеркалом. Тогда расстояние SA + AB равно расстоянию S'A + AB, и это расстояние является минимальным, когда S', A и B лежат на одной прямой.

Если бы луч прошёл через точку B, отразившись от зеркала в точке D, то по принципу наименьшего времени, траектория SDB была бы путём наименьшего времени, если бы D было точкой, обеспечивающей минимальное время. Однако, закон отражения (угол падения равен углу отражения) гарантирует именно минимальное время. Если луч прошёл через B, отразившись в D, то угол падения \( ∠ SDB' \) не равен углу отражения \( ∠ BDD' \).

Построим мнимое изображение S' источника S за зеркалом. Тогда расстояние SA + AB = S'A + AB. Это расстояние минимально, когда A лежит на прямой S'B. То есть, S', A, B лежат на одной прямой. В этом случае \( t_{SAB} = \frac{S'B}{c} \).

Для траектории SDB, мы также можем построить мнимое изображение S' и рассмотреть расстояние S'D + DB. Минимальное расстояние будет, когда D лежит на прямой S'B. Но если D является другой точкой, то S'D + DB > S'B. Следовательно, \( t_{SDB} = \frac{SD + DB}{c} > \frac{SD' + D'B}{c} = \frac{S'B}{c} = t_{SAB} \) (где D' — точка на прямой S'B).

Таким образом, путь SDB был бы пройден светом за большее время, чем путь SAB, потому что траектория SAB соответствует закону отражения и принципу наименьшего времени.