5. Какой длины надо взять никелиновую проволоку площадью поперечного сечения 0,84 мм², чтобы изготовить нагреватель на 220 В, при помощи которого можно было бы греть 2 л воды от температуры 20°С до кипения за 10 мин, при КПД 80%?

Дано:

\( S = 0,84 \text{ мм}^2 \)

\( U = 220 \text{ В} \)

\( V = 2 \text{ л} = 0,002 \text{ м}^3 \)

\( T_1 = 20 \text{ °С} \)

\( T_2 = 100 \text{ °С} \)

\( t = 10 \text{ мин} = 600 \text{ с} \)

\( \eta = 80\% = 0,8 \)

\( \rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \)

\( c_{воды} = 4200 \text{ Дж/(кг⋅°С)} \)

\( \rho_{никелина} \approx 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом⋅м} \) (удельное сопротивление нихрома)

Найти:

\( L \)

Решение:

1. Вычислим массу воды:

\[ m = \(\rho\)_{воды} \(\cdot\) V = 1000 \(\text{ кг/м}\)^3 \(\cdot\) 0,002 \(\text{ м}\)^3 = 2 \(\text{ кг}\) \)

2. Вычислим количество теплоты, необходимое для нагрева воды:

\[ Q_{необх} = c_{воды} \(\cdot\) m \(\cdot\) (T_2 - T_1) = 4200 \(\text{ Дж/(кг⋅°С)}\) \(\cdot\) 2 \(\text{ кг}\) \(\cdot\) \(100 \text{ °С} - 20 \text{ °С}\) = 4200 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 80 = 672000 \(\text{ Дж}\) \)

3. Учтем КПД нагревателя. Полезная теплота составляет 80% от всей теплоты, выделяемой нагревателем:

\[ Q_{выдел} = \(\frac{Q_{необх}}{\eta}\) = \(\frac{672000 \text{ Дж}}{0,8}\) = 840000 \(\text{ Дж}\) \)

4. Вычислим мощность нагревателя:

\[ P = \(\frac{Q_{выдел}}{t}\) = \(\frac{840000 \text{ Дж}}{600 \text{ с}}\) = 1400 \(\text{ Вт}\) \)

5. Вычислим сопротивление нагревателя по закону Джоуля-Ленца: \( P = \frac{U^2}{R} \)

\[ R = \(\frac{U^2}{P}\) = \(\frac\){\(220 \text{ В}\)^2}{1400 \(\text{ Вт}\)} = \(\frac{48400}{1400}\) \(\approx\) 34,57 \(\text{ Ом}\) \)

6. Вычислим длину проволоки по формуле сопротивления: \( R = \rho \frac{L}{S} \)

\[ L = \(\frac{R \cdot S}{\rho_{никелина}}\) = \(\frac{34,57 \text{ Ом} \cdot 0,84 \text{ мм}^2}{1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом⋅м}}\) \)

Переведем площадь поперечного сечения в м²: \( S = 0,84 \text{ мм}^2 = 0,84 10^{-6} \text{ м}^2 \)

\[ L = \(\frac{34,57 \text{ Ом} \cdot 0,84 10^{-6} \text{ м}^2}{1,1 10^{-6} \text{ Ом⋅м}}\) = \(\frac{34,57 \cdot 0,84}{1,1}\) \(\approx\) 26,4 \(\text{ м}\) \)

Ответ: Длина никелиновой проволоки должна быть примерно 26,4 м.