5. Из вершины развернутого угла ABC проведены лучи BE и BF так, что \( \angle ABF = 135^\circ \), \( \angle CBE = 95^\circ \). Найдите \( \angle EBF \).

5. Нахождение угла:

Развернутый угол \( \angle ABC = 180^\circ \).

\( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBE + \angle EBC \)

\( 180^\circ = 135^\circ + \angle FBE + 95^\circ \)

\( 180^\circ = 230^\circ + \angle FBE \)

\( \angle FBE = 180^\circ - 230^\circ \)

Видно, что данная конфигурация углов невозможна, так как сумма двух углов \( \angle ABF + \angle CBE = 135^\circ + 95^\circ = 230^\circ \), что больше развернутого угла \( 180^\circ \).

Если предположить, что лучи BE и BF находятся внутри угла ABC, то: \( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBC \) или \( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBC \).

Рассмотрим вариант, когда луч BF лежит между лучами BA и BE, а луч BE лежит между лучами BA и BC:

\( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBE + \angle EBC \)

\( 180^\circ = 135^\circ + \angle EBF + 95^\circ \)

\( \angle EBF = 180^\circ - 135^\circ - 95^\circ = 180^\circ - 230^\circ = -50^\circ \). Это невозможно.

Рассмотрим вариант, когда луч BE лежит между лучами BF и BC:

\( \angle ABF = \angle ABE + \angle EBF \)

\( 135^\circ = \angle ABE + \angle EBF \)

\( \angle ABC = \angle ABE + \angle EBC = 180^\circ \)

\( \angle ABE = 180^\circ - \angle EBC = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \)

\( 135^\circ = 85^\circ + \angle EBF \)

\( \angle EBF = 135^\circ - 85^\circ = 50^\circ \)

Рассмотрим вариант, когда луч BF лежит между лучами BE и BC:

\( \angle CBE = \angle CBF + \angle FBE \)

\( 95^\circ = \angle CBF + \angle FBE \)

\( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBC = 180^\circ \)

\( \angle FBC = 180^\circ - \angle ABF = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)

\( 95^\circ = 45^\circ + \angle FBE \)

\( \angle FBE = 95^\circ - 45^\circ = 50^\circ \)

В обоих допустимых случаях \( \angle EBF = 50^\circ \).

Ответ: \( \angle EBF = 50^\circ \).