№ 5. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, одновременно навстречу друг другу выехали скорый и пассажирский поезда и встретились через 6 часов. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что скорый проезжает за 3 часа на 120 км больше, чем пассажирский за 2 часа.

Решение:

Пусть \( v_p \) — скорость пассажирского поезда (км/ч), а \( v_s \) — скорость скорого поезда (км/ч).

За 6 часов поезда вместе проехали 960 км. Их суммарная скорость равна:

\[ v_p + v_s = \frac{960 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 160 \text{ км/ч} \]

За 3 часа скорый поезд проезжает на 120 км больше, чем пассажирский за 2 часа. Это можно записать так:

\[ 3v_s = 2v_p + 120 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} v_p + v_s = 160 \\ 3v_s = 2v_p + 120 \end{cases} \]

Выразим \( v_p \) из первого уравнения: \( v_p = 160 - v_s \).

Подставим это во второе уравнение:

\[ 3v_s = 2(160 - v_s) + 120 \]

Решим уравнение:

\[ 3v_s = 320 - 2v_s + 120 \]

\( 3v_s + 2v_s = 320 + 120 \)

\( 5v_s = 440 \)

\[ v_s = \frac{440}{5} = 88 \text{ км/ч} \]

Теперь найдём скорость пассажирского поезда:

\[ v_p = 160 - v_s = 160 - 88 = 72 \text{ км/ч} \]

Проверим условие: скорый поезд за 3 часа проезжает \( 3 \cdot 88 = 264 \) км. Пассажирский поезд за 2 часа проезжает \( 2 \cdot 72 = 144 \) км. Разница составляет \( 264 - 144 = 120 \) км, что соответствует условию.

Ответ: Скорость скорого поезда — 88 км/ч, скорость пассажирского поезда — 72 км/ч.