5. Интеграл и его применение. в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 1, y = 3 - x. Сделать рисунок.

Решение:

1. Найдем точки пересечения двух графиков, приравняв их уравнения: \( x^2 + 1 = 3 - x \).
2. Перенесем все члены в одну сторону: \( x^2 + x - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \). Это пределы интегрирования.
5. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [-2; 1] \). Возьмем точку \( x = 0 \) (лежит между -2 и 1): \( y_1 = 0^2 + 1 = 1 \) (для \( y = x^2 + 1 \)) и \( y_2 = 3 - 0 = 3 \) (для \( y = 3 - x \)). Так как \( 3 > 1 \), то функция \( y = 3 - x \) находится выше.
6. Площадь фигуры вычисляется по формуле: \( S = \int_{a}^{b} (f_{верхняя}(x) - f_{нижняя}(x)) dx \).
7. \( S = \int_{-2}^{1} ((3 - x) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (3 - x - x^2 - 1) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \).
8. Найдем первообразную: \( F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \).
9. Вычислим определенный интеграл: \( S = F(1) - F(-2) \)
10. \( S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) \)
11. \( S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \)
12. \( S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \)
13. \( S = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6 \)
14. \( S = (2 + 6) + \left(-\frac{1}{3} - \frac{8}{3}\right) - \frac{1}{2} = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).

Рисунок:

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \).