5) f(x)=x²√2-x

Решение:

Это функция, содержащая произведение многочлена и корня. Область определения функции: \( 2-x ≥ 0 \), следовательно, \( x ≤ 2 \).

Для исследования функции (например, нахождения производной) необходимо выполнить соответствующие математические операции.

Пример: Найти производную функции:

Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Здесь \( u = x^2 \) и \( v = \sqrt{2-x} = (2-x)^{1/2} \).

Находим производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = 2x \)

Для \( v' \) используем правило дифференцирования сложной функции: \( v' = \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}} \).

Подставляем в формулу:

\( f'(x) = (2x)\sqrt{2-x} + x^2\left(-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\right) \)

\( f'(x) = 2x\sqrt{2-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2-x}} \)

Приведем к общему знаменателю:

\( f'(x) = \frac{2x\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x^2}{2\sqrt{2-x}} \)

\( f'(x) = \frac{4x(2-x) - x^2}{2\sqrt{2-x}} \)

\( f'(x) = \frac{8x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{2-x}} \)

\( f'(x) = \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}} \)

Ответ: Производная функции f(x) равна \( \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}} \).