5. Если AD = DC, AB = AC, ∠ ACD = 42°, mo ∠BCD = ...

Решение:

В треугольнике \( △ ABC \) \( AB = AC \), значит, он равнобедренный. Углы при основании \( BC \) равны, то есть \( ∠ ABC = ∠ ACB \).

В треугольнике \( △ ADC \) \( AD = DC \), значит, он равнобедренный. Углы при основании \( AC \) равны, то есть \( ∠ CAD = ∠ ACD \).

По условию \( ∠ ACD = 42° \). Значит, \( ∠ CAD = 42° \).

В треугольнике \( △ ADC \) сумма углов равна 180°:

\( ∠ ADC + ∠ CAD + ∠ ACD = 180° \)

\( ∠ ADC + 42° + 42° = 180° \)

\( ∠ ADC + 84° = 180° \)

\( ∠ ADC = 180° - 84° = 96° \).

Угол \( ∠ ACB \) является углом треугольника \( △ ABC \). Угол \( ∠ ACD \) — часть угла \( ∠ ACB \). Здесь есть ошибка в условии, так как \( ∠ ADC \) — внешний угол для \( △ BDC \), а \( ∠ ACB \) — угол при основании \( △ ABC \) и в то же время является углом \( △ ADC \).

Давайте предположим, что \( ∠ ACB \) = 42°. Тогда \( ∠ ABC = 42° \). Угол \( ∠ BAC = 180° - (42° + 42°) = 180° - 84° = 96° \).

Рассмотрим другой вариант: \( ∠ CAD = 42° \).

В \( △ ABC \): \( AB = AC \), \( ∠ ABC = ∠ ACB \). \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° \).

В \( △ ADC \): \( AD = DC \), \( ∠ CAD = ∠ ACD = 42° \). \( ∠ ADC = 180° - (42° + 42°) = 96° \).

Угол \( ∠ ACB \) = \( ∠ ACD + ∠ BCD \).

В \( △ ADC \) угол \( ∠ ACB \) является внешним углом для \( △ BDC \) и смежным углом к \( ∠ ADC \) не является.

Из рисунка видно, что \( ∠ ACB \) — это один из углов треугольника \( △ ABC \), а \( ∠ ACD = 42° \) — это часть угла \( ∠ ACB \).

В \( △ ADC \), \( AD = DC \) и \( ∠ ACD = 42° \). Значит, \( ∠ CAD = 42° \). Тогда \( ∠ ADC = 180° - (42° + 42°) = 96° \).

Угол \( ∠ ACB \) = \( ∠ ACD = 42° \) (из рисунка). Это противоречит тому, что \( ∠ ADC \) внешний для \( △ BDC \).

Давайте предположим, что \( ∠ BAC = 42° \).

Если \( AD = DC \), то \( △ ADC \) равнобедренный. Если \( AB = AC \), то \( △ ABC \) равнобедренный.

Предположим, что \( ∠ CAD = 42° \) (как показано на рисунке). Тогда \( ∠ ACD = 42° \) (так как \( AD = DC \)).

\( ∠ ADC = 180° - (42° + 42°) = 96° \).

В \( △ ABC \) \( AB = AC \), значит \( ∠ ABC = ∠ ACB \).

Из рисунка видно, что \( ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD \). И \( ∠ ADC \) — внешний для \( △ BDC \).

Тогда \( ∠ ADC = ∠ DBC + ∠ BCD \). \( 96° = ∠ DBC + ∠ BCD \).

Так как \( AB = AC \), то \( ∠ ABC = ∠ ACB \). \( ∠ ABC = ∠ DBC \).

Значит, \( 96° = ∠ ABC + ∠ BCD \).

Также \( ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 42° + ∠ BCD \).

Подставим это в предыдущее уравнение: \( 96° = (42° + ∠ BCD) + ∠ BCD \) \( 96° = 42° + 2 ∠ BCD \) \( 2 ∠ BCD = 96° - 42° \) \( 2 ∠ BCD = 54° \) \( ∠ BCD = 27° \).

Ответ: \( ∠ BCD = 27° \).