5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км

Решение:

1. Обозначим переменные:

   Пусть $$v$$ — скорость второго автомобиля (км/ч).

   Тогда скорость первого автомобиля будет $$v + 10$$ (км/ч).

2. Выразим время в пути для каждого автомобиля:

   Время = Расстояние / Скорость.

   Время второго автомобиля: $$t_2 = \frac{50}{v}$$ (ч).

   Время первого автомобиля: $$t_1 = \frac{50}{v+10}$$ (ч).

3. Составим уравнение, исходя из условия, что первый автомобиль приехал на 1 час раньше:

   $$t_2 - t_1 = 1$$

   \(\frac{50}{v} - \frac{50}{v+10} = 1\)

4. Приведем к общему знаменателю:

   \[ \frac{50(v+10) - 50v}{v(v+10)} = 1 \]

5. Упростим числитель:

   \[ \frac{50v + 500 - 50v}{v^2 + 10v} = 1 \]

   \[ \frac{500}{v^2 + 10v} = 1 \]

6. Решим полученное уравнение:

   $$v^2 + 10v = 500$$

   $$v^2 + 10v - 500 = 0$$

7. Найдем корни квадратного уравнения:

Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-500) = 100 + 2000 = 2100$$.

$$\( \sqrt{D} = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21} \approx 45.8 \)$$

$$v_1 = \frac{-10 + 10\sqrt{21}}{2} = -5 + 5\sqrt{21} \approx -5 + 5(4.58) = -5 + 22.9 = 17.9$$

$$v_2 = \frac{-10 - 10\sqrt{21}}{2} = -5 - 5\sqrt{21}$$ (этот корень отрицательный, он нам не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

8. Найдем скорость первого автомобиля:

$$v + 10 = (-5 + 5\sqrt{21}) + 10 = 5 + 5\sqrt{21} \approx 27.9$$

Ответ: Скорость второго автомобиля примерно 17.9 км/ч, скорость первого автомобиля примерно 27.9 км/ч.