5. Докажи или опровергни утверждения:

Решение:

а) Если сумма цифр числа кратна 5, то число кратно 5.

Это утверждение неверно.

Контрпример: Число 14. Сумма его цифр \( 1 + 4 = 5 \), что кратно 5. Однако само число 14 не делится на 5 без остатка.

б) Если число оканчивается цифрами 0 или 9, то оно кратно 9.

Это утверждение неверно.

Контрпример: Число 10 оканчивается на 0, но не кратно 9. Число 19 оканчивается на 9, но не кратно 9 (остаток 1).

в) Трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами, кратно 3.

Это утверждение верно.

Доказательство: Трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно представить в виде \( aaa \), где \( a \) — цифра от 1 до 9.

Это число можно записать как \( 100a + 10a + a = 111a \).

Сумма цифр числа равна \( a + a + a = 3a \).

По признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Так как \( 3a \) всегда делится на 3 (поскольку \( a \) — целое число), то и само число \( 111a \) кратно 3.

Также можно заметить, что \( 111a = 3 \times 37a \), что явно показывает делимость на 3.

Ответ: а) Неверно; б) Неверно; в) Верно.