5. Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Даша добавила в него порцию холодной воды с температурой 25 °С. После установления температурного равновесия температура воды в чашке составила 85 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны \( c = 4200 \text{ Дж/(кг} °\text{С)} \). Потерями теплоты можно пренебречь. Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. Найдите отношение массы чая к массе воды. Так как чай всё ещё был слишком горячим, Даша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Ответ дайте в виде целого числа градусов Цельсия. Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

Часть 1: Отношение количества теплоты

Количество теплоты, отданное чаем: \( Q_{\text{отданное}} = c \cdot m_{\text{чая}} \cdot (T_{\text{чая, нач}} - T_{\text{равновесия}}) \)

Количество теплоты, полученное водой: \( Q_{\text{полученное}} = c \cdot m_{\text{воды}} \cdot (T_{\text{равновесия}} - T_{\text{воды, нач}}) \)

Так как потерями теплоты можно пренебречь, \( Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}} \).

\( c \cdot m_{\text{чая}} \cdot (100 - 85) = c \cdot m_{\text{воды}} \cdot (85 - 25) \)

\( m_{\text{чая}} \cdot 15 = m_{\text{воды}} \cdot 60 \)

Отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой:

\( \frac{Q_{\text{отданное}}}{Q_{\text{полученное}}} = 1 \) (по закону сохранения энергии).

Часть 2: Отношение массы чая к массе воды

Из \( m_{\text{чая}} \cdot 15 = m_{\text{воды}} \cdot 60 \) выразим отношение масс:

\( \frac{m_{\text{чая}}}{m_{\text{воды}}} = \frac{60}{15} = 4 \).

Часть 3: Новая температура равновесия

Добавлена вторая порция воды, такая же, как первая. Общая масса воды теперь \( 2 · m_{\text{воды}} \).

Количество теплоты, отданное чаем при остывании до новой температуры \( T_2 \): \( Q'_{\text{отданное}} = c \cdot m_{\text{чая}} \cdot (85 - T_2) \).

Количество теплоты, полученное водой (обеими порциями): \( Q'_{\text{полученное}} = c \cdot (2 · m_{\text{воды}}) \cdot (T_2 - 25) \).

Приравниваем количество теплоты:

\( c \cdot m_{\text{чая}} \cdot (85 - T_2) = c \cdot 2 · m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 25) \)

Сокращаем \( c \) и используем отношение \( m_{\text{чая}} = 4 · m_{\text{воды}} \):

\( 4 · m_{\text{воды}} \cdot (85 - T_2) = 2 · m_{\text{воды}} \cdot (T_2 - 25) \)

Сокращаем \( m_{\text{воды}} \):

\( 4 · (85 - T_2) = 2 · (T_2 - 25) \)

\( 340 - 4T_2 = 2T_2 - 50 \)

\( 340 + 50 = 2T_2 + 4T_2 \)

\( 390 = 6T_2 \)

\( T_2 = \frac{390}{6} = 65 \) °С.

Ответ: Отношение количества теплоты равно 1. Отношение массы чая к массе воды равно 4. Новая температура равновесия — 65 °С.