5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена к плоскости его основания под углом . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть \( d \) — диагональ осевого сечения цилиндра, \( H \) — высота цилиндра, \( D \) — диаметр основания цилиндра, \( α \) — угол наклона диагонали к плоскости основания.

По условию \( d = 12 \) см.

Диагональ осевого сечения, высота и диаметр основания цилиндра образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Диагональ \( d \) — гипотенуза.
• Высота \( H \) — катет, противолежащий углу \( α \).
• Диаметр \( D \) — катет, прилежащий к углу \( α \).

Используем тригонометрические соотношения:

\( H = d \cdot · · \sin · · \alpha \)

\( D = d \cdot · · \cos · · \alpha \)

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\[ S_{бок} = π · D · H \]

Подставим выражения для \( D \) и \( H \) через \( d \) и \( α \):

\[ S_{бок} = π · (d · · \cos · · \alpha) · (d · · \sin · · \alpha) \]

\[ S_{бок} = π · d^2 · \cos · · \alpha · \sin · · \alpha \]

Поскольку \( d = 12 \) см:

\[ S_{бок} = π · (12 · \text{см})^2 · \cos · · \alpha · \sin · · \alpha \]

\[ S_{бок} = 144 · π · \cos · · \alpha · \sin · · \alpha · \text{ см}^2 \]

Примечание: Для получения числового ответа необходимо знать значение угла \( α \). Так как угол не указан, ответ остается в таком виде.

Ответ: \( 144 · π · \cos · · \alpha · \sin · · \alpha \) см²