5) Действия над векторами Пусть $\vec{a} = \lbrace x_a, y_a, z_a \rbrace, \vec{b} = \lbrace x_b, y_b, z_b \rbrace,$$ 1) \(\vec{a} \pm \vec{b} = \lbrace x_a \pm x_b, y_a \pm y_b, z_a \pm z_b \}$$. 2) \(\lambda \vec{a} = \lbrace \lambda x_a, \lambda y_a, \lambda z_a \rbrace$$. 3) \(\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x_a = x_b, y_a = y_b, z_a = z_b$$ 6) \(\vec{b} || \vec{a} \Leftrightarrow \frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} = \lambda $ (векторы коллинеары, тогда и только тогда, если их координаты пропорциональны) Пример: В прямоугольной декартовой системе координат даны точки А (0; 2; 3), B(2; -2; 7), С(4; -4; 15) М (х, у, 2) – середина отрезка АВ. Найдите: 1) векторы $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BA} $ 2) $3\vec{AB} - \vec{AC} $ 3) $|\vec{AB}|, |\vec{AC}| $ 4) М (x, y, z); 5). Проверить коллинеарны ли векторы $\vec{AC} $ и $\vec{BA} $ Решение: 1) $\(\vec{AB}$ = $\lbrace$ 2-0; -2 -2; 7-3 $\rbrace$ = $\lbrace$ 2; -4; 4 $\rbrace$, $\vec{AC}$ = $\lbrace$ 4; -6; 12 $\rbrace$, $\vec{BA}$ = $\lbrace$ -2; 4; -4 $\rbrace$$$ 2) \(3\vec{AB} - \vec{AC} = 3\lbrace 2; -4; 4 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 6; -12; 12 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 2; -6; 0 \rbrace$$

Question

5) Действия над векторами Пусть $\vec{a} = \lbrace x_a, y_a, z_a \rbrace, \vec{b} = \lbrace x_b, y_b, z_b \rbrace,$$ 1) \(\vec{a} \pm \vec{b} = \lbrace x_a \pm x_b, y_a \pm y_b, z_a \pm z_b \}$$. 2) \(\lambda \vec{a} = \lbrace \lambda x_a, \lambda y_a, \lambda z_a \rbrace$$. 3) \(\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x_a = x_b, y_a = y_b, z_a = z_b$$ 6) \(\vec{b} || \vec{a} \Leftrightarrow \frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} = \lambda $ (векторы коллинеары, тогда и только тогда, если их координаты пропорциональны) Пример: В прямоугольной декартовой системе координат даны точки А (0; 2; 3), B(2; -2; 7), С(4; -4; 15) М (х, у, 2) – середина отрезка АВ. Найдите: 1) векторы $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BA} $ 2) $3\vec{AB} - \vec{AC} $ 3) $|\vec{AB}|, |\vec{AC}| $ 4) М (x, y, z); 5). Проверить коллинеарны ли векторы $\vec{AC} $ и $\vec{BA} $ Решение: 1) $\(\vec{AB}$ = $\lbrace$ 2-0; -2 -2; 7-3 $\rbrace$ = $\lbrace$ 2; -4; 4 $\rbrace$, $\vec{AC}$ = $\lbrace$ 4; -6; 12 $\rbrace$, $\vec{BA}$ = $\lbrace$ -2; 4; -4 $\rbrace$$$ 2) \(3\vec{AB} - \vec{AC} = 3\lbrace 2; -4; 4 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 6; -12; 12 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 2; -6; 0 \rbrace$$

$Фото задания: 5) Действия над векторами Пусть \(\vec{a} = \lbrace x_a, y_a, z_a \rbrace, \vec{b} = \lbrace x_b, y_b, z_b \rbrace,$ 1)…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

1. Находим векторы:

$\vec{AB} = \lbrace x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A \rbrace = \lbrace 2 - 0; -2 - 2; 7 - 3 \rbrace = \lbrace 2; -4; 4 \rbrace$
$\vec{AC} = \lbrace x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A \rbrace = \lbrace 4 - 0; -4 - 2; 15 - 3 \rbrace = \lbrace 4; -6; 12 \rbrace$
$\vec{BA} = \lbrace x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B \rbrace = \lbrace 0 - 2; 2 - (-2); 3 - 7 \rbrace = \lbrace -2; 4; -4 \rbrace$

2. Вычисляем линейную комбинацию векторов:

$3\vec{AB} - \vec{AC} = 3 \cdot \lbrace 2; -4; 4 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 3 \cdot 2; 3 \cdot (-4); 3 \cdot 4 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 6; -12; 12 \rbrace - \lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lbrace 6-4; -12-(-6); 12-12 \rbrace = \lbrace 2; -6; 0 \rbrace$

3. Находим длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2 + z_{AB}^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
$|\vec{AC}| = \sqrt{x_{AC}^2 + y_{AC}^2 + z_{AC}^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$

4. Находим координаты середины отрезка AB:

$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right) = \left( \frac{0 + 2}{2}; \frac{2 + (-2)}{2}; \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}; \frac{0}{2}; \frac{10}{2} \right) = (1; 0; 5)$

5. Проверяем коллинеарность векторов $\vec{AC} $ и $\vec{BA} $:

Для коллинеарности необходимо, чтобы координаты одного вектора были пропорциональны координатам другого. Проверим, существует ли $\lambda $ такое, что $\vec{AC} = \lambda \vec{BA} $.

$\lbrace 4; -6; 12 \rbrace = \lambda \cdot \lbrace -2; 4; -4 \rbrace$

Из первой координаты: $4 = \lambda \cdot (-2) \Rightarrow \lambda = -2$.

Из второй координаты: $-6 = \lambda \cdot 4 \Rightarrow \lambda = -6/4 = -1.5$.

Так как значения $\lambda $ не совпадают, векторы $\vec{AC} $ и $\vec{BA} $ не коллинеарны.

Ответ: 1) $\vec{AB} = \lbrace 2; -4; 4 \rbrace, \vec{AC} = \lbrace 4; -6; 12 \rbrace, \vec{BA} = \lbrace -2; 4; -4 \rbrace$; 2) $\lbrace 2; -6; 0 \rbrace$; 3) $|\vec{AB}| = 6, |\vec{AC}| = 14$; 4) M(1; 0; 5); 5) векторы $\vec{AC} $ и $\vec{BA} $ не коллинеарны.