5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A (-2; -3), В (-2; 5) и С (4; 5).

Решение:

1) Построение прямоугольника:

На координатной плоскости отмечаем точки A(-2; -3), B(-2; 5) и C(4; 5). Соединяем их отрезками.

2) Координаты вершины D:

Так как ABCD — прямоугольник, то вектор AB равен вектору DC, и вектор BC равен вектору AD.

Вектор AB = \((-2 - (-2)); (5 - (-3))\) = \((0); (8)\)

Вектор BC = \((4 - (-2)); (5 - 5))\) = \((6); (0)\)

Пусть координаты D = \((x_D); (y_D)\)

Вектор AD = \((x_D - (-2)); (y_D - (-3))\) = \((x_D + 2); (y_D + 3)\)

Так как BC = AD, то \(x_D + 2 = 6\) и \(y_D + 3 = 0\).

Отсюда \(x_D = 6 - 2 = 4\) и \(y_D = 0 - 3 = -3\).

Координаты вершины D: (4; -3).

3) Координаты точки пересечения диагоналей:

Диагонали прямоугольника пересекаются в середине. Найдем середину диагонали AC.

Координаты середины диагонали AC: \(\left(\frac{-2+4}{2};\frac{-3+5}{2}\right) = \left(\frac{2}{2};\frac{2}{2}\right) = (1; 1)\).

4) Площадь и периметр прямоугольника:

Длина стороны AB = \( \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8\) см.

Длина стороны BC = \(\sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6\) см.

Площадь прямоугольника: \(S = AB \times BC = 8 \times 6 = 48\) см².

Периметр прямоугольника: \(P = 2(AB + BC) = 2(8 + 6) = 2 \times 14 = 28\) см.

Ответ: 2) D(4; -3); 3) (1; 1); 4) Площадь 48 см², периметр 28 см.