5. Дан параллелограмм ABCD. Через точку D и точку L, принадлежащую стороне параллелограмма BC и такую, что BL:LC = 4:3, проведена прямая до пересечения с продолжением стороны AB в точке K. Найдите длину ВК и отношение площадей треугольников BKL и ADK, если AB = 30 см. Дополнительное задание. На рисунке ABCD прямоугольник, ABMN - квадрат, MCDN - прямоугольник, подобный прямоугольнику ABCD. Найдите отношение AD:AB.

Решение:

1. Дополнительное задание:

На рисунке ABCD — прямоугольник, ABMN — квадрат, MCDN — прямоугольник, подобный прямоугольнику ABCD.

По условию, ABMN — квадрат, значит, AB = BM = MN = NA.

MCDN — прямоугольник, подобный ABCD. Это означает, что отношение сторон у них одинаковое:

\( \frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC} \)

Так как ABCD — прямоугольник, то AD = BC и AB = CD.

Из подобия прямоугольников MCDN и ABCD следует:

\( \frac{MC}{CD} = \frac{MD}{AD} \)

Поскольку ABMN — квадрат, то AB = AM. Поскольку ABCD — прямоугольник, то AB = CD.

Поскольку MCDN — прямоугольник, то MC = ND и CD = MN.

Из подобия \( \frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BC} \) и того, что AD = BC, AB = CD, получаем:

\( \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AD} \) (поскольку CD = AB и BC = AD)

\( (AD)^2 = (AB)^2 \)

\( AD = AB \)

Значит, прямоугольник ABCD является квадратом.

Тогда отношение AD:AB = 1:1.

Ответ: 1:1.

2. Основное задание:

Дано: ABCD — параллелограмм, L ∈ BC, BL:LC = 4:3. Прямая DL пересекает продолжение AB в точке K. AB = 30 см.

Найти: ВК и \( \frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} \).

Решение:

а) Нахождение ВК:

Рассмотрим треугольники ADL и KBL. Так как BC || AD, то L лежит на BC, а K — на продолжении AB. DL — секущая.

Угол DLB = Угол LAD (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей DL).

Угол LBD = Угол LDA (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей DL).

Угол KBL = Угол DAL (соответственные углы при параллельных AB и DC и секущей DK, но мы рассматриваем параллелограмм ABCD, где AB || DC. Точки K, B, A лежат на одной прямой, поэтому угол KBL = угол ADC).

Треугольники KBL и ADL подобны по двум углам. (Угол BLK = Угол ALD как вертикальные, Угол KBL = Угол ADL как накрест лежащие при BC || AD и секущей DL).

Из подобия треугольников KBL и ADL следует:

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LC} = \frac{KL}{LD} \)

По условию BL:LC = 4:3.

Так как ABCD — параллелограмм, AD = BC.

BC = BL + LC.

Если BL = 4x, то LC = 3x. Тогда BC = 4x + 3x = 7x.

Значит, AD = 7x.

Из подобия \( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LC} \) получаем:

\( \frac{BK}{7x} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} \)

\( BK = \frac{4}{3} \cdot 7x = \frac{28x}{3} \)

Это неверный подход, так как мы не знаем x.

Пересмотрим подобие:

Рассмотрим треугольники KBL и ADL. Угол KBL = Угол ADC (соответственные при AB || DC). Угол BLK = Угол ALD (вертикальные). Треугольники KBL и ADL подобны.

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{DL} \) - это не так.

Правильное подобие:

Рассмотрим треугольники KBL и ADL. Угол KBL = Угол LAD (внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей DL). Угол BLK = Угол ALD (вертикальные). Значит, \( \triangle KBL \sim \triangle ADL \).

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LD} = \frac{KL}{AL} \)

Это тоже не совсем верно. Рассмотрим треугольники KBL и ADL.

Угол KBL = Угол ADL (накрест лежащие при BC || AD и секущей DL).

Угол BLK = Угол ALD (вертикальные).

Значит, \( \triangle KBL \sim \triangle ADL \).

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LA} \) - не так.

Рассмотрим треугольники KBL и ADC:

Угол KBL = Угол ADC (соответственные углы при AB || DC и секущей KC).

Угол BKL = Угол DAK (внутренние накрест лежащие при AB || DC и секущей KC).

\( \triangle KBL \sim \triangle ADC \).

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{DC} = \frac{KL}{KC} \).

По условию BL:LC = 4:3. Пусть BL = 4k, LC = 3k. Тогда BC = 7k.

Так как ABCD — параллелограмм, AD = BC = 7k и DC = AB = 30 см.

Из подобия \( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{DC} \):

\( \frac{BK}{7k} = \frac{4k}{30} \)

\( BK = \frac{4k \times 7k}{30} \) — Здесь ошибка, BL относится к DC, а не BL к LC.

Правильное подобие:

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle DCL \). Нет, не так.

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADL \).

Угол KBL = Угол LAD (накрест лежащие при BC || AD и секущей DL).

Угол BLK = Угол ALD (вертикальные).

\( \triangle KBL \sim \triangle ADL \) по двум углам.

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LD} \) - не верно.

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{LA} \) - не верно.

\( \frac{BK}{AD} = \frac{BL}{??} \)

Рассмотрим треугольники KBL и LDC.

Угол KBL = Угол LDC (накрест лежащие при AB || DC и секущей KC).

Угол BKL = Угол CLD (накрест лежащие при AB || DC и секущей KC).

\( \triangle KBL \sim \triangle LDC \) по двум углам.

\( \frac{BK}{LD} = \frac{BL}{LC} = \frac{KL}{DC} \)

По условию BL:LC = 4:3. Значит, \( \frac{BL}{LC} = \frac{4}{3} \).

\( DC = AB = 30 \) см.

Из подобия: \( \frac{BK}{LD} = \frac{4}{3} \) и \( \frac{KL}{30} = \frac{4}{3} \).

Из \( \frac{KL}{30} = \frac{4}{3} \) следует \( KL = \frac{4}{3} \cdot 30 = 40 \) см.

Теперь рассмотрим треугольники ADL и KBL. Угол LAD = Угол KBL (накрест лежащие при AD || BC и секущей AK). Угол ALD = Угол BLK (вертикальные). Следовательно, \( \triangle ADL \sim \triangle KBL \).

\( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \).

Из \( \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \) следует \( \frac{DL}{4k} = \frac{AL}{40} \).

Используем, что L лежит на BC. AD = BC.

Вернемся к подобию:

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADC \). Нет.

Рассмотрим \( \triangle LDC \) и \( \triangle LKB \).

Угол LDC = Угол KBL (накрест лежащие углы при AB || DC и секущей KC).

Угол LCD = Угол LBK (накрест лежащие углы при AB || DC и секущей KC).

\( \triangle LDC \sim \triangle LKB \) по двум углам.

\( \frac{LD}{LK} = \frac{LC}{LB} = \frac{DC}{KB} \).

По условию BL:LC = 4:3, значит \( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \).

\( DC = AB = 30 \) см.

\( \frac{DC}{KB} = \frac{3}{4} \)

\( \frac{30}{KB} = \frac{3}{4} \)

\( 3 \cdot KB = 30 \cdot 4 \)

\( KB = \frac{120}{3} = 40 \) см.

б) Отношение площадей треугольников BKL и ADK:

Из подобия \( \triangle LDC \sim \triangle LKB \) мы получили \( \frac{LD}{LK} = \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \).

Значит, \( LD = \frac{3}{4} LK \) и \( LK = \frac{4}{3} LD \).

Из \( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \) следует \( \frac{LB}{LC} = \frac{4}{3} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ADL \) и \( \triangle KBL \).

Угол LAD = Угол KBL (накрест лежащие при AD || BC и секущей AK).

Угол ALD = Угол BLK (вертикальные).

\( \triangle ADL \sim \triangle KBL \).

\( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \).

Мы знаем \( KB = 40 \) см. AB = 30 см. AD = BC.

Из \( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \) следует \( LK = \frac{4}{3} LD \).

Из \( \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \) - неверно.

Рассмотрим подобие \( \triangle ADL \) и \( \triangle KBL \) еще раз.

Угол LAD = Угол KBL (накрест лежащие при AD || BC и секущей AK).

Угол ALD = Угол BLK (вертикальные).

\( \triangle ADL \sim \triangle KBL \).

\( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \).

Из \( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \) и \( LB + LC = BC = AD \). Пусть LB = 4x, LC = 3x. Тогда AD = 7x.

\( \frac{AD}{KB} = \frac{7x}{40} \).

\( \frac{DL}{LB} = \frac{DL}{4x} \).

\( \frac{AL}{KL} \).

Из \( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \), то \( DL = \frac{3}{4} LK \). Значит \( LK = \frac{4}{3} DL \).

\( LD + LK = LD + \frac{4}{3} LD = \frac{7}{3} LD \).

Из подобия \( \triangle LDC \sim \triangle LKB \) мы знаем, что \( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \).

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADK \).

Угол KBL = Угол ADK (не верно).

Используем подобие \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADL \).

\( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} \). Не верно.

Вернемся к подобию \( \triangle LDC \sim \triangle LKB \).

\( \frac{LC}{LB} = \frac{DC}{KB} = \frac{3}{4} \).

\( \frac{30}{KB} = \frac{3}{4} \) => \( KB = 40 \) см.

Теперь подобие \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADL \).

Угол KBL = Угол LAD (накрест лежащие при BC || AD и секущей AK).

Угол BLK = Угол ALD (вертикальные).

\( \triangle KBL \sim \triangle ADL \).

\( \frac{KB}{AD} = \frac{BL}{LD} = \frac{KL}{AL} \).

Мы знаем \( KB = 40 \). AB = 30. AD = BC.

Из \( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \). Пусть LB = 4x, LC = 3x. Тогда BC = AD = 7x.

\( \frac{40}{7x} = \frac{4x}{LD} \) => \( LD = \frac{7x \times 4x}{40} = \frac{28x^2}{40} = \frac{7x^2}{10} \).

\( \frac{KL}{AL} \).

Нам нужно отношение площадей \( S_{BKL} \) и \( S_{ADK} \).

Площадь \( \triangle BKL = \frac{1}{2} BK \times h_1 \), где \( h_1 \) — высота из L на AB.

Площадь \( \triangle ADK = \frac{1}{2} AK \times h_2 \), где \( h_2 \) — высота из D на AK.

AK = AB + BK = 30 + 40 = 70 см.

Высота треугольника KBL, проведенная из L к AB (или ее продолжению), равна высоте треугольника ADL, проведенной из L к AD (или ее продолжению), при условии, что L — точка на BC.

Рассмотрим треугольники KBL и ADK.

Угол KBL = Угол ADK (не верно).

Рассмотрим треугольники KBL и ABM.

Используем подобие \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADL \).

\( \frac{KB}{AD} = \frac{BL}{LD} = \frac{KL}{AL} \).

\( \frac{40}{7x} = \frac{4x}{LD} \) => \( LD = \frac{28x^2}{40} \).

\( \frac{AL}{KL} = \frac{40}{7x} \).

Найдем отношение площадей \( S_{BKL} \) и \( S_{ADK} \).

\( S_{BKL} = \frac{1}{2} BK \times h \) где h — высота из L на AB.

\( S_{ADK} = \frac{1}{2} AK \times h' \) где h' — высота из D на AB.

Используем отношение сторон из подобия:

\( \triangle KBL \sim \triangle ADL \) => \( \frac{KB}{AD} = \frac{40}{7x} \).

\( \frac{BL}{LD} = \frac{4x}{LD} \).

\( \frac{KL}{AL} \).

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle KDA \).

Угол K общий.

Угол KBL = Угол KDA (не верно).

Рассмотрим \( \triangle KBL \) и \( \triangle ADK \).

Угол K общий.

Угол KBL = Угол KAD (не верно).

Из подобия \( \triangle LDC \sim \triangle LKB \):

\( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \).

\( \frac{DC}{KB} = \frac{3}{4} \) => \( KB = 40 \) см.

\( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \).

Из подобия \( \triangle ADL \) и \( \triangle KBL \):

\( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \).

\( \frac{AD}{40} = \frac{DL}{LB} = \frac{AL}{KL} \).

Из \( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \), значит \( LK = \frac{4}{3} LD \).

\( DL + LK = DL + \frac{4}{3} DL = \frac{7}{3} DL \).

\( LB + LC = BC = AD \).

\( \frac{LC}{LB} = \frac{3}{4} \).

Let LB = 4k, LC = 3k, BC = 7k. AD = 7k.

\( \frac{AD}{KB} = \frac{7k}{40} \).

\( \frac{DL}{LB} = \frac{DL}{4k} \).

\( \frac{AL}{KL} \).

From \( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \), we have \( \frac{LK}{LD} = \frac{4}{3} \).

So \( KL = \frac{4}{3} LD \).

Then \( \frac{DL}{LB} = \frac{DL}{4k} \).

And \( \frac{AL}{KL} \).

From \( \triangle ADL \backsim \triangle KBL \), we have \( \frac{AD}{KB} = \frac{DL}{LB} \).

\( \frac{7k}{40} = \frac{DL}{4k} \).

\( DL = \frac{7k \times 4k}{40} = \frac{28k^2}{40} = \frac{7k^2}{10} \).

Now we need the ratio of areas \( S_{BKL} \) and \( S_{ADK} \).

\( S_{BKL} = \frac{1}{2} BK \times h_L \) where \( h_L \) is the height from L to AB.

\( S_{ADK} = \frac{1}{2} AK \times h_D \) where \( h_D \) is the height from D to AK.

Consider the heights from L to AB (extended) and from D to AB (extended). These heights are not directly related without more information.

Let's use the ratio of sides from similarity for areas.

\( \triangle KBL \backsim \triangle ADL \) with ratio \( \frac{KB}{AD} = \frac{40}{7k} \).

The ratio of areas of similar triangles is the square of the ratio of corresponding sides:

\( \frac{S_{KBL}}{S_{ADL}} = (\frac{KB}{AD})^2 = (\frac{40}{7k})^2 = \frac{1600}{49k^2} \).

This gives the ratio of \( S_{KBL} \) to \( S_{ADL} \), not \( S_{ADK} \).

Consider \( \triangle KBL \) and \( \triangle KDA \).

Angle K is common.

\( \frac{KB}{KA} = \frac{40}{30+40} = \frac{40}{70} = \frac{4}{7} \).

\( \frac{KL}{KD} \). We know \( \frac{LD}{LK} = \frac{3}{4} \) => \( \frac{LK}{LD} = \frac{4}{3} \). So \( LD = \frac{3}{4} LK \). Then \( KD = KL + LD = KL + \frac{3}{4} KL = \frac{7}{4} KL \). So \( \frac{KL}{KD} = \frac{4}{7} \).

Since \( \frac{KB}{KA} = \frac{KL}{KD} = \frac{4}{7} \) and angle K is common, \( \triangle KBL \backsim \triangle KDA \) by SAS similarity.

The ratio of areas of similar triangles is the square of the ratio of corresponding sides:

\( \frac{S_{KBL}}{S_{KDA}} = (\frac{KB}{KA})^2 = (\frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49} \).

So, \( S_{BKL} = \frac{16}{49} S_{ADK} \).

The ratio of areas of triangles BKL and ADK is \( \frac{S_{BKL}}{S_{ADK}} = \frac{16}{49} \).

Ответ: ВК = 40 см, отношение площадей \( S_{BKL} : S_{ADK} = 16:49 \).