5. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.

Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(O\) — точка пересечения его диагоналей. Через \(O\) проведены взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие стороны квадрата в точках \(P,Q,R,S\), расположенных последовательно.

Поворот на \(90^\circ\) вокруг точки \(O\) переводит квадрат в себя: его стороны и диагонали переходят в соответствующие стороны и диагонали. Поскольку проведённые прямые перпендикулярны, поворот на \(90^\circ\) переводит одну из них в другую. Поэтому точки пересечения переходят друг в друга циклически: например, \(P\to Q\to R\to S\to P\).

Поворот сохраняет расстояния, следовательно, \(PQ=QR=RS=SP\). Кроме того, каждая сторона получившейся фигуры переходит в следующую при повороте на \(90^\circ\), значит, её соседние стороны взаимно перпендикулярны. Таким образом, четырёхугольник \(PQRS\) имеет четыре равные стороны и прямые углы.

Следовательно, точки пересечения данных прямых со сторонами исходного квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.