5. a) Решите уравнение cos2x - sin(x – π) − 1 = 0.

Решение:

1. Воспользуемся тригонометрическими тождествами: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) и \( \sin(x - \pi) = -\sin(x) \).
2. Подставим их в уравнение: \( 1 - 2\sin^2(x) - (-\sin(x)) - 1 = 0 \)
3. Упростим: \( -2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \)
4. Вынесем \( \sin(x) \) за скобки: \( \sin(x)(1 - 2\sin(x)) = 0 \).
5. Отсюда получаем два случая: \( \sin(x) = 0 \) или \( 1 - 2\sin(x) = 0 \).
6. Если \( \sin(x) = 0 \), то \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
7. Если \( 1 - 2\sin(x) = 0 \), то \( \sin(x) = \frac{1}{2} \). Отсюда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi k \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.