5-6 класс. Математика и логика. Урок №30. Игры и стратегии: разные задачи. Домашнее задание. Задание №3* Гоша хочет узнать день и месяц рождения Роберта. Для этого он попросил Роберта умножить день своего рождения на некоторое число х (его Гоша выбирает сам), а номер месяца на некоторое число у (его Гоша тоже выбирает сам). Затем Роберт сложил полученные произведения и сказал результат Гоше. Какие числа х и у должен выбрать Гоша, чтобы узнать день и месяц рождения Роберта?

Решение:

Пусть день рождения Роберта — это $$D$$ (число от 1 до 31), а месяц рождения — $$M$$ (число от 1 до 12).

Гоша выбирает числа $$x$$ и $$y$$. Роберт вычисляет результат $$R = D \times x + M \times y$$.

Гоше нужно выбрать такие $$x$$ и $$y$$, чтобы по значению $$R$$ он мог однозначно определить $$D$$ и $$M$$.

Рассмотрим пример. Пусть Гоша выберет $$x = 1$$ и $$y = 1$$. Тогда $$R = D + M$$.

Например, если Роберту 15 марта, то $$D=15, M=3$$. $$R = 15 \times 1 + 3 \times 1 = 18$$.

Если Роберту 10 апреля, то $$D=10, M=4$$. $$R = 10 \times 1 + 4 \times 1 = 14$$.

А вот если Роберту 12 февраля, то $$D=12, M=2$$. $$R = 12 \times 1 + 2 \times 1 = 14$$.

В этом случае, получив результат 14, Гоша не знает, было ли это 10 апреля или 12 февраля.

Чтобы избежать такой неоднозначности, нужно выбрать $$x$$ и $$y$$ так, чтобы для любых двух пар $$(D_1, M_1)$$ и $$(D_2, M_2)$$, где $$D_1
e D_2$$ или $$M_1
e M_2$$, результаты $$R_1 = D_1 x + M_1 y$$ и $$R_2 = D_2 x + M_2 y$$ были разными.

Нужно, чтобы не было такого, что $$D_1 x + M_1 y = D_2 x + M_2 y$$ при различных $$(D_1, M_1)$$ и $$(D_2, M_2)$$.

Перенесем всё в одну сторону: $$(D_1 - D_2)x + (M_1 - M_2)y = 0$$.

Это уравнение не должно иметь решений при $$D_1
e D_2$$ или $$M_1
e M_2$$.

Рассмотрим максимальные и минимальные значения $$D$$ и $$M$$.

Максимальный день — 31, максимальный месяц — 12. Минимальный день — 1, минимальный месяц — 1.

Пусть Гоша выберет $$x = 100$$. Тогда $$D \times 100$$ будет иметь значение, которое сильно зависит от $$D$$.

А $$M \times y$$ будет добавкой.

Пусть $$x$$ будет больше, чем максимальный возможный день рождения, умноженный на максимальный номер месяца. Например, если $$x = 100$$ и $$y = 100$$.

Тогда $$D \times 100$$ будет от $$1 \times 100 = 100$$ до $$31 \times 100 = 3100$$.

$$M \times 100$$ будет от $$1 \times 100 = 100$$ до $$12 \times 100 = 1200$$.

Результат $$R = D \times 100 + M \times 100$$.

Чтобы однозначно определить $$D$$ и $$M$$, нам нужно, чтобы значения $$D \times x$$ были достаточно большими, чтобы их разница гарантировала уникальность, а $$M \times y$$ служило коррекцией.

Рассмотрим, например, $$x = 100$$ и $$y = 5$$.

Максимальное значение $$D \times x$$ будет $$31 \times 100 = 3100$$.

Максимальное значение $$M \times y$$ будет $$12 \times 5 = 60$$.

Если $$D_1 \times 100 + M_1 \times 5 = D_2 \times 100 + M_2 \times 5$$, то $$(D_1 - D_2) \times 100 = (M_2 - M_1) \times 5$$.

Левая часть уравнения делится на 100. Правая часть делится на 5. Делимость на 100 означает, что $$(D_1 - D_2)$$ должно быть кратно 100, либо $$(M_2 - M_1)$$ должно быть кратно 20.

Так как $$D_1$$ и $$D_2$$ находятся в диапазоне от 1 до 31, то $$|D_1 - D_2|
e 100$$.

Так как $$M_1$$ и $$M_2$$ находятся в диапазоне от 1 до 12, то $$|M_2 - M_1|
e 20$$.

Следовательно, чтобы равенство $$(D_1 - D_2) \times 100 = (M_2 - M_1) \times 5$$ выполнялось, обе части должны быть равны нулю.

Это означает, что $$D_1 - D_2 = 0 \rightarrow D_1 = D_2$$, и $$M_2 - M_1 = 0 \rightarrow M_1 = M_2$$.

Значит, выбор $$x=100$$ и $$y=5$$ позволяет однозначно определить день и месяц рождения.

Другие возможные варианты: $$x$$ должно быть больше максимального дня ($$31$$) умноженного на максимально возможное значение разности месяцев ($$12-1=11$$). $$31 \times 11 = 341$$.

Например, $$x = 342$$.

А $$y$$ должно быть не слишком велико, чтобы не перекрывать разницу дней. Можно взять $$y = 1$$.

Если $$x$$ очень большое, а $$y$$ маленькое, это тоже сработает.

Пусть $$x > 31$$. И $$y < x / 11$$.

Возьмем $$x = 32$$ и $$y = 3$$.

$$(D_1 - D_2) \times 32 + (M_1 - M_2) \times 3 = 0$$.

$$(D_1 - D_2) \times 32 = (M_2 - M_1) \times 3$$.

$$D_1 - D_2$$ находится в пределах от $$-30$$ до $$30$$.

$$M_2 - M_1$$ находится в пределах от $$-11$$ до $$11$$.

Левая часть $$(D_1 - D_2) \times 32$$ может быть в пределах от $$-30 \times 32 = -960$$ до $$30 \times 32 = 960$$.

Правая часть $$(M_2 - M_1) \times 3$$ может быть в пределах от $$-11 \times 3 = -33$$ до $$11 \times 3 = 33$$.

Единственный способ, чтобы эти два значения были равны, это если обе части равны нулю. Это возможно только если $$D_1 = D_2$$ и $$M_1 = M_2$$.

Таким образом, любые $$x$$ и $$y$$ такие, что $$x > 31$$ и $$y$$ достаточно мало, чтобы $$y \times 11 < x$$, будут работать.

Самый простой и часто приводимый пример: $$x$$ больше максимального дня, а $$y=1$$.

Минимальное значение $$D \times x$$ будет $$1 \times x$$. Максимальное значение $$M \times y$$ будет $$12 \times y$$.

Чтобы избежать перекрытия, нам нужно, чтобы $$1 \times x > 12 \times y$$.

Пусть $$x = 32$$ (больше максимального дня 31). Пусть $$y = 1$$.

$$(D_1 - D_2) \times 32 + (M_1 - M_2) \times 1 = 0 \rightarrow (D_1 - D_2) \times 32 = (M_2 - M_1)$$.

Левая часть: $$|D_1 - D_2| \times 32$$ минимум $$1 \times 32 = 32$$ (если $$D_1
e D_2$$).

Правая часть: $$|M_2 - M_1|$$ максимум $$12 - 1 = 11$$.

Левая часть всегда больше правой, если $$D_1
e D_2$$. Следовательно, $$D_1 = D_2$$ и $$M_1 = M_2$$.

Итак, Гоша должен выбрать $$x$$ больше 31 и $$y$$ равным 1. Или $$x$$ больше $$31 \times 11$$ и $$y$$ равным 1. Нет, это не верно.

Нам нужно, чтобы $$D_1 x + M_1 y = D_2 x + M_2 y$$ не имело решений, если $$(D_1, M_1)
e (D_2, M_2)$$.

$$(D_1 - D_2)x = (M_2 - M_1)y$$.

Пусть $$D_1 = 1, M_1 = 1$$, $$D_2 = 2, M_2 = 1$$. Тогда $$(1-2)x = (1-1)y \rightarrow -x = 0 \rightarrow x=0$$. Но $$x$$ не может быть 0.

Пусть $$D_1 = 1, M_1 = 1$$, $$D_2 = 1, M_2 = 2$$. Тогда $$(1-1)x = (2-1)y \rightarrow 0 = y$$. Но $$y$$ не может быть 0.

Значит, $$x$$ и $$y$$ должны быть натуральными числами.

Необходимо, чтобы $$x$$ было больше, чем максимальное произведение разности дней на $$y$$, и $$y$$ было больше, чем максимальное произведение разности месяцев на $$x$$. Нет, это не так.

Нужно, чтобы $$x$$ было больше, чем максимальное значение $$y \times (M_{max}-M_{min})$$, и $$y$$ было больше, чем максимальное значение $$x \times (D_{max}-D_{min})$$. Это тоже не так.

Достаточно, чтобы $$x$$ было больше максимального дня (31) и $$y$$ было равно 1.

Тогда $$R = D \times x + M$$.

Для любых двух дат $$(D_1, M_1)$$ и $$(D_2, M_2)$$, если $$D_1 \times x + M_1 = D_2 \times x + M_2$$, то $$(D_1 - D_2)x = M_2 - M_1$$.

Так как $$x > 31$$, то $$|D_1 - D_2|x
e |M_2 - M_1|$$ если $$D_1
e D_2$$ или $$M_1
e M_2$$.

Максимальная разность $$M_2 - M_1$$ равна $$12-1 = 11$$.

Если $$D_1
e D_2$$, то $$|D_1 - D_2| \times x
e M_2 - M_1$$, так как $$|D_1 - D_2| \times x
e 0$$ (т.к. $$x>0$$) и $$|M_2 - M_1|$$ может быть 0, но $$|D_1 - D_2| \times x$$ будет минимум $$1 \times x$$.

Если $$D_1=D_2$$, то $$0 = M_2 - M_1$$, откуда $$M_1=M_2$$.

Если $$M_1=M_2$$, то $$(D_1 - D_2)x = 0$$, откуда $$D_1=D_2$$ (так как $$x
e 0$$).

Таким образом, если $$x$$ больше 31 (например, 32) и $$y=1$$, то Гоша сможет однозначно определить дату.

Другой вариант: $$y$$ должно быть больше максимального дня (31). Например, $$y = 32$$. А $$x = 1$$.

Тогда $$R = D + M \times y$$.

$$(D_1 - D_2) + (M_1 - M_2)y = 0 \rightarrow (M_1 - M_2)y = D_2 - D_1$$.

Если $$y=32$$. $$|M_1 - M_2| \times 32
e |D_2 - D_1|$$.

Максимальное $$|M_1 - M_2| \times 32 = 11 \times 32 = 352$$. Максимальное $$|D_2 - D_1| = 31$$.

Таким образом, если $$y$$ больше 31 (например, 32) и $$x=1$$, то Гоша сможет однозначно определить дату.

Ответ: Гоша должен выбрать $$x > 31$$ и $$y=1$$, либо $$y > 31$$ и $$x=1$$. Например, $$x=32, y=1$$ или $$x=1, y=32$$.