5 3/4 - (1 2/5 + 2 1/2 x)^2 - 17/20

Решение:

Для решения этого примера необходимо выполнить следующие шаги:

1. Приведём смешанные дроби к виду неправильных дробей:
• \( 5 \frac{3}{4} = \frac{5 \times 4 + 3}{4} = \frac{23}{4} \)
• \( 1 \frac{2}{5} = \frac{1 \times 5 + 2}{5} = \frac{7}{5} \)
• \( 2 \frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} \)
2. Подставим полученные дроби в исходное выражение:
\( \frac{23}{4} - \left( \frac{7}{5} + \frac{5}{2} x \right)^2 - \frac{17}{20} \)
3. Приведём дроби \( \frac{23}{4} \) и \( \frac{17}{20} \) к общему знаменателю 20:
• \( \frac{23}{4} = \frac{23 \times 5}{4 \times 5} = \frac{115}{20} \)
4. Выполним вычитание дробей:
\( \frac{115}{20} - \frac{17}{20} = \frac{115 - 17}{20} = \frac{98}{20} \)
5. Сократим полученную дробь:
\( \frac{98}{20} = \frac{49}{10} \)
6. Теперь выражение выглядит так:
\( \frac{49}{10} - \left( \frac{7}{5} + \frac{5}{2} x \right)^2 \)
7. Раскроем квадрат суммы:
\( \left( \frac{7}{5} + \frac{5}{2} x \right)^2 = \left( \frac{7}{5} \right)^2 + 2 \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{2} x + \left( \frac{5}{2} x \right)^2 = \frac{49}{25} + 2 \cdot \frac{35}{10} x + \frac{25}{4} x^2 = \frac{49}{25} + 7x + \frac{25}{4} x^2 \)
8. Подставим обратно в исходное выражение:
\( \frac{49}{10} - \left( \frac{49}{25} + 7x + \frac{25}{4} x^2 \right) \)
9. Раскроем скобки, меняя знаки:
\( \frac{49}{10} - \frac{49}{25} - 7x - \frac{25}{4} x^2 \)
10. Приведём константы к общему знаменателю 50:
• \( \frac{49}{10} = \frac{49 \times 5}{10 \times 5} = \frac{245}{50} \)
• \( \frac{49}{25} = \frac{49 \times 2}{25 \times 2} = \frac{98}{50} \)
11. Выполним вычитание констант:
\( \frac{245}{50} - \frac{98}{50} = \frac{147}{50} \)
12. Итоговое выражение:
\( \frac{147}{50} - 7x - \frac{25}{4} x^2 \)
13. Отсортируем по убыванию степеней \( x \):
\( -\frac{25}{4} x^2 - 7x + \frac{147}{50} \)

Ответ: \( -\frac{25}{4} x^2 - 7x + \frac{147}{50} \).