5.22. Знайдіть область визначення функції: 1) $y=x^{\frac27}$; 2) $y=x^{-\frac34}$; 3) $y=(x-2)^{-0{,}2}$; 4) $y=(x^2+2x)^{\frac18}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.22. Знайдіть область визначення функції: 1) $y=x^{\frac27}$; 2) $y=x^{-\frac34}$; 3) $y=(x-2)^{-0{,}2}$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

$y=x^{\frac27}=\sqrt[7]{x^2}$. Оскільки корінь непарного степеня визначений для всіх дійсних $x$, область визначення: $D=\mathbb R$.
$y=x^{-\frac34}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Потрібно, щоб підкореневий вираз був невід’ємним, а знаменник не дорівнював нулю; отже, $x>0$. Тому $D=(0;+\infty)$.
$y=(x-2)^{-0{,}2}=(x-2)^{-\frac15}=\frac{1}{\sqrt[5]{x-2}}$. Корінь п’ятого степеня існує для всіх дійсних значень, але знаменник не може дорівнювати нулю, тому $x\ne2$. Отже, $D=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$.
Для кореня восьмого степеня потрібно $x^2+2x\ge0$. Розкладемо: $x(x+2)\ge0$, звідси $x\le-2$ або $x\ge0$.
Відповідь: 1) $\mathbb R$; 2) $(0;+\infty)$; 3) $( -\infty;2)\cup(2;+\infty)$; 4) $( -\infty;-2]\cup[0;+\infty)$.

5.22. Знайдіть область визначення функції: 1) \(y=x^{\frac27}\); 2) \(y=x^{-\frac34}\); 3) \(y=(x-2)^{-0{,}2}\); 4) \(y=(x^2+2x)^{\frac18}\).