5.1. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠DAC. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а ∠D = 60°.

Обозначим боковую сторону CD через \(x\). Так как \(AD \parallel BC\), а \(\angle D=60^\circ\), высота трапеции равна \(x\sin 60^\circ\).

Поскольку \(AC\perp CD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный, причём \(\angle DAC=30^\circ\). Следовательно, в треугольнике \(ACD\):

\[AD=2CD=2x,\qquad AC=\sqrt3x.\]

Из равенства \(\angle BAC=\angle DAC=30^\circ\) следует, что \(\angle BAD=60^\circ\). Поэтому треугольник \(ABD\) имеет углы при \(A\) и \(D\), равные \(60^\circ\), значит, он равносторонний. Следовательно,

\[AB=BD=AD=2x.\]

В данном случае из геометрических соотношений получается также \(BC=CD=x\). Тогда периметр трапеции:

\[P=AB+BC+CD+AD=2x+x+x+2x=6x.\]

Но проверим конфигурацию точнее: из условия \(AC\perp CD\) и \(\angle D=60^\circ\) следует \(AD=2CD\), а из равенства углов — \(AB=CD\), \(BC=CD\). Поэтому

\[P=AB+BC+CD+AD=x+x+x+2x=5x.\]

Так как \(P=20\), имеем:

\[5x=20,\qquad x=4.\]

Следовательно,

\[AD=2x=8.\]

Ответ: \(8\).