5.1. Три прямые AB, CD и NM пересекаются в точке O (рис. 1). Докажите, что CD ⟂ NM, если: 1) ∠COB = 135°, OA — биссектриса угла CON; 2) ∠AON : ∠NOD : ∠DOB = 1 : 2 : 1. Пункты 1) и 2) решать независимо друг от друга.

1) Так как OA и OB — противоположные лучи, ∠COA = 180° − 135° = 45°. Луч OA — биссектриса ∠CON, поэтому ∠AON = ∠COA = 45°. Тогда ∠CON = 90°. Следовательно, прямые CD и NM перпендикулярны.

2) Лучи OA и OB противоположны, поэтому ∠AON + ∠NOD + ∠DOB = 180°. На одну долю приходится 180° ÷ 4 = 45°. Значит, ∠AON = 45°, ∠NOD = 90°, ∠DOB = 45°. Угол между прямыми CD и NM равен ∠NOD, поскольку OC противоположен OD. Следовательно, CD ⟂ NM.