5.1. На клетчатой бумаге отмечены три точки: (1;2), (4;2), (3;5). Найдите координаты четвертой точки, чтобы получился параллелограмм (три варианта).

Решение:

Для того чтобы четыре точки образовывали параллелограмм, диагонали должны пересекаться в одной точке и делиться пополам. Это означает, что середина одной диагонали должна совпадать с серединой другой.

Пусть даны точки A=(1;2), B=(4;2), C=(3;5). Ищем четвертую точку D=(x;y).

Вариант 1: ABCD - параллелограмм

Диагонали AC и BD пересекаются в одной точке. Середина AC = \( \left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+5}{2}\right) = \left(2; 3.5\right) \). Середина BD = \( \left(\frac{4+x}{2}; \frac{2+y}{2}\right) \).

Приравниваем координаты середин: \( \frac{4+x}{2} = 2 \Rightarrow 4+x = 4 \Rightarrow x = 0 \). \( \frac{2+y}{2} = 3.5 \Rightarrow 2+y = 7 \Rightarrow y = 5 \). Значит, D = (0;5).

Вариант 2: ABDC - параллелограмм

Диагонали AD и BC пересекаются в одной точке. Середина BC = \( \left(\frac{4+3}{2}; \frac{2+5}{2}\right) = \left(3.5; 3.5\right) \). Середина AD = \( \left(\frac{1+x}{2}; \frac{2+y}{2}\right) \).

Приравниваем координаты середин: \( \frac{1+x}{2} = 3.5 \Rightarrow 1+x = 7 \Rightarrow x = 6 \). \( \frac{2+y}{2} = 3.5 \Rightarrow 2+y = 7 \Rightarrow y = 5 \). Значит, D = (6;5).

Вариант 3: ACBD - параллелограмм

Диагонали AB и CD пересекаются в одной точке. Середина AB = \( \left(\frac{1+4}{2}; \frac{2+2}{2}\right) = \left(2.5; 2\right) \). Середина CD = \( \left(\frac{3+x}{2}; \frac{5+y}{2}\right) \).

Приравниваем координаты середин: \( \frac{3+x}{2} = 2.5 \Rightarrow 3+x = 5 \Rightarrow x = 2 \). \( \frac{5+y}{2} = 2 \Rightarrow 5+y = 4 \Rightarrow y = -1 \). Значит, D = (2;-1).

Ответ: Координаты четвертой точки могут быть (0;5), (6;5) или (2;-1).