5. (1 балл) Точка М лежит вне окружности с центром в точке 0. Точка К принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая МК — касательная к окружности.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник MOK. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle MKO + \angle KMO + \angle MOK = 180° \).

По условию задачи \( \angle KMO + \angle MOK = 90° \).

Подставим это в уравнение суммы углов треугольника:

\( \angle MKO + 90° = 180° \).

Отсюда следует, что \( \angle MKO = 180° - 90° = 90° \).

Угол \( \angle MKO \) — это угол между радиусом OK (так как O — центр окружности, а K — точка на окружности) и прямой MK.

Если угол между радиусом и прямой равен 90°, то эта прямая является касательной к окружности.

Следовательно, прямая MK — касательная к окружности.

Доказано.