5. (1 балл) Решите неравенство log_0,5 (3x-1) < -3

1. Анализ неравенства:

У нас есть логарифмическое неравенство \[ \log_{0,5} (3x-1) < -3 \]

2. Ограничения:

Во-первых, выражение под логарифмом должно быть положительным:

\[ 3x-1 > 0 \]

\[ 3x > 1 \]

\[ x > \frac{1}{3} \]

Во-вторых, основание логарифма (0,5) меньше 1. Это значит, что при потенцировании знаки неравенства изменятся на противоположные.

3. Решение неравенства:

Применим потенцирование:

\[ 3x-1 > (0,5)^{-3} \]

Рассчитаем правую часть:

\[ (0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ 3x-1 > 8 \]

\[ 3x > 8+1 \]

\[ 3x > 9 \]

\[ x > \frac{9}{3} \]

\[ x > 3 \]

4. Учет ограничений:

Мы получили два условия: \[ x > \frac{1}{3} \] и \[ x > 3 \]

Объединяя их, видим, что решением будет \[ x > 3 \]

Ответ: x > 3