4 Тип 17 і Упростите числовое выражение √|40√2-57|-√40√2+57.

Решение

Для начала, разберемся с первым выражением под корнем: \( |40\sqrt{2} - 57| \).

Возведем \( 40\sqrt{2} \) и \( 57 \) в квадрат, чтобы сравнить их:

\( (40\sqrt{2})^2 = 40^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 1600 \cdot 2 = 3200 \)

\( 57^2 = 3249 \)

Так как \( 3200 < 3249 \), то \( 40\sqrt{2} < 57 \). Следовательно, \( 40\sqrt{2} - 57 \) — отрицательное число.

Поэтому, \( |40\sqrt{2} - 57| = -(40\sqrt{2} - 57) = 57 - 40\sqrt{2} \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} - \sqrt{40\sqrt{2} + 57} \)

Применим формулу \( \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-c}{2}} \), где \( c = \sqrt{a^2 - b} \).

Для первого корня: \( \sqrt{57 - 40\sqrt{2}} = \sqrt{57 - \sqrt{1600 \cdot 2}} = \sqrt{57 - \sqrt{3200}} \).

\( a = 57, b = 3200 \)

\( c = \sqrt{57^2 - 3200} = \sqrt{3249 - 3200} = \sqrt{49} = 7 \)

\( \sqrt{57 - \sqrt{3200}} = \sqrt{\frac{57+7}{2}} - \sqrt{\frac{57-7}{2}} = \sqrt{\frac{64}{2}} - \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{32} - \sqrt{25} = 4\sqrt{2} - 5 \)

Для второго корня: \( \sqrt{57 + 40\sqrt{2}} = \sqrt{57 + \sqrt{3200}} \).

\( a = 57, b = 3200, c = 7 \)

\( \sqrt{57 + \sqrt{3200}} = \sqrt{\frac{57+7}{2}} + \sqrt{\frac{57-7}{2}} = \sqrt{\frac{64}{2}} + \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{32} + \sqrt{25} = 4\sqrt{2} + 5 \)

Теперь подставим полученные значения обратно:

\( (4\sqrt{2} - 5) - (4\sqrt{2} + 5) \)

\( = 4\sqrt{2} - 5 - 4\sqrt{2} - 5 \)

\( = -10 \)

Ответ: -10