49. Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через пять часов вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 60 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде (в км/ч), если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( v_л \) км/ч, а скорость течения реки как \( v_т \) км/ч.
2. Из условия известно, что \( v_т = 3 \) км/ч.
3. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_т = 3 \) км/ч.
4. Плот прошёл 60 км за время, которое плот был в пути. Время в пути плота \( t_п \) = \( 60 \text{ км} / 3 \text{ км/ч} = 20 \) часов.
5. Лодка отправилась через 5 часов после плота. Значит, время, которое лодка была в пути, \( t_л = t_п - 5 \text{ ч} = 20 \text{ ч} - 5 \text{ ч} = 15 \) часов.
6. Скорость лодки по течению \( v_{л \text{ по}} = v_л + v_т = v_л + 3 \) км/ч.
7. Скорость лодки против течения \( v_{л \text{ против}} = v_л - v_т = v_л - 3 \) км/ч.
8. Расстояние, которое проплыла лодка по течению до пункта В, равно \( S_{АВ} = 108 \) км.
9. Время, за которое лодка доплыла до В: \( t_{л \text{ до В}} = \frac{S_{АВ}}{v_{л \text{ по}}} = \frac{108}{v_л + 3} \) часов.
10. Время, за которое лодка вернулась в А из В: \( t_{л \text{ из В}} = \frac{S_{АВ}}{v_{л \text{ против}}} = \frac{108}{v_л - 3} \) часов.
11. Общее время лодки в пути: \( t_{л} = t_{л \text{ до В}} + t_{л \text{ из В}} \).
12. Подставим значения: \( 15 = \frac{108}{v_л + 3} + \frac{108}{v_л - 3} \).
13. Разделим обе части уравнения на 108: \( \frac{15}{108} = \frac{1}{v_л + 3} + \frac{1}{v_л - 3} \).
14. Упростим дробь \( \frac{15}{108} = \frac{5}{36} \).
15. Приведём правую часть к общему знаменателю: \( \frac{5}{36} = \frac{(v_л - 3) + (v_л + 3)}{(v_л + 3)(v_л - 3)} \).
16. \( \frac{5}{36} = \frac{2v_л}{v_л^2 - 9} \).
17. Крест-накрест: \( 5(v_л^2 - 9) = 36(2v_л) \).
18. \( 5v_л^2 - 45 = 72v_л \).
19. \( 5v_л^2 - 72v_л - 45 = 0 \).
20. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \).
21. \( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \).
22. \( v_{л1} = \frac{72 + 78}{2 5} = \frac{150}{10} = 15 \) км/ч.
23. \( v_{л2} = \frac{72 - 78}{2 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \) км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Ответ: 15 км/ч.