488. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух параллельных прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Пусть на первой параллельной прямой последовательно отложены равные отрезки \(A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n\). Через точки \(A_1,A_2,\dots,A_n\) проведены параллельные прямые, пересекающие вторую параллельную прямую в точках \(B_1,B_2,\dots,B_n\).

1. Рассмотрим два соседних отрезка, например \(A_iA_{i+1}\) и \(A_{i+1}A_{i+2}\).
2. Четырёхугольники \(A_iA_{i+1}B_{i+1}B_i\) и \(A_{i+1}A_{i+2}B_{i+2}B_{i+1}\) являются параллелограммами, поскольку их противоположные стороны лежат на параллельных прямых.
3. В параллелограммах противоположные стороны равны, поэтому \(A_iA_{i+1}=B_iB_{i+1}\) и \(A_{i+1}A_{i+2}=B_{i+1}B_{i+2}\).
4. Так как \(A_iA_{i+1}=A_{i+1}A_{i+2}\), то \(B_iB_{i+1}=B_{i+1}B_{i+2}\).

Аналогично сравниваются все соседние отрезки на второй параллельной прямой.

Ответ: отрезки, отсечённые на второй прямой, равны между собой.