46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

Решение системы неравенств №1:

1. Решим первое неравенство: \( 5x - 13 < 2x + 7 \)
   \( 5x - 2x < 7 + 13 \)
   \( 3x < 20 \)
   \( x < \frac{20}{3} \)
2. Решим второе неравенство: \( 4 - x > 6 - 3x \)
   \( -x + 3x > 6 - 4 \)
   \( 2x > 2 \)
   \( x > 1 \)
3. Объединим решения: \( 1 < x < \frac{20}{3} \). Целые решения: 2, 3, 4, 5, 6.

Решение системы неравенств №2:

1. Решим первое неравенство: \( 4x + 17 \ge x - 4 \)
   \( 4x - x \ge -4 - 17 \)
   \( 3x \ge -21 \)
   \( x \ge -7 \)
2. Решим второе неравенство: \( 3x + 2 \ge 7x + 18 \)
   \( 3x - 7x \ge 18 - 2 \)
   \( -4x \ge 16 \)
   \( x \le -4 \)
3. Объединим решения: \( -7 \le x \le -4 \). Целые решения: -7, -6, -5, -4.

Решение системы неравенств №3:

1. Решим первое неравенство: \( \frac{7x + 1}{2} + 3 \ge 4x \)
   \( 7x + 1 + 6 \ge 8x \)
   \( 7x + 7 \ge 8x \)
   \( 7 \ge x \)
2. Решим второе неравенство: \( (x + 5)(x - 3) \ge (x - 1)(x - 2) + 3 \)
   \( x^2 - 3x + 5x - 15 \ge x^2 - 2x - x + 2 + 3 \)
   \( x^2 + 2x - 15 \ge x^2 - 3x + 5 \)
   \( 2x - 15 \ge -3x + 5 \)
   \( 5x \ge 20 \)
   \( x \ge 4 \)
3. Объединим решения: \( 4 \le x \le 7 \). Целые решения: 4, 5, 6, 7.

Решение системы неравенств №4:

1. Решим первое неравенство: \( 7x - 2 > x + 20 \)
   \( 7x - x > 20 + 2 \)
   \( 6x > 22 \)
   \( x > \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \)
2. Решим второе неравенство: \( 6x - 1 \le 4x + 7 \)
   \( 6x - 4x \le 7 + 1 \)
   \( 2x \le 8 \)
   \( x \le 4 \)
3. Объединим решения: \( \frac{11}{3} < x \le 4 \). Целых решений нет, так как \( \frac{11}{3} \approx 3.67 \).

Ответ: 1) 5 решений; 2) 4 решения; 3) 4 решения; 4) 0 решений.