45. Выполните действия: а) (2a + b)/(a² + 6a + 9) + 3/(a + 3); б) (3a − 2)/(a² − 9) + 5/(a² − 6a + 9); в) (4y + 7)/(2y² + 16y + 32) − 9/(y² − 16); г) (2t + 1)/((t − 3)(t + 2)) − 3/(2t² − 8); д) (t² − 2t − 1)/((2t + 1)(t² − 3t)) − (t² + 5)/(4t³ − t); е) (x + 2)/(3x(x − 1)(x + 3)) + 4/((1 − x)5x).

Разложим знаменатели на множители, приведём дроби к общему знаменателю и сократим, если возможно.

1. а) \(a^2+6a+9=(a+3)^2\). Поэтому \(\dfrac{2a+b}{(a+3)^2}+\dfrac{3(a+3)}{(a+3)^2}=\dfrac{5a+b+9}{(a+3)^2}\), где \(a\ne-3\).
2. б) \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), \(a^2-6a+9=(a-3)^2\). Общий знаменатель — \((a-3)^2(a+3)\): \(\dfrac{(3a-2)(a-3)+5(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}=\dfrac{3a^2-6a+21}{(a-3)^2(a+3)}\), где \(a\ne\pm3\).
3. в) \(2y^2+16y+32=2(y+4)^2\), \(y^2-16=(y-4)(y+4)\). Тогда \(\dfrac{(4y+7)(y-4)-18(y+4)}{2(y+4)^2(y-4)}=\dfrac{4y^2-27y-100}{2(y+4)^2(y-4)}\), где \(y\ne\pm4\).
4. г) \(2t^2-8=2(t-2)(t+2)\). Тогда \(\dfrac{2(2t+1)(t-2)-3(t-3)}{2(t-3)(t+2)(t-2)}=\dfrac{4t^2-9t+5}{2(t-3)(t+2)(t-2)}\), где \(t\ne-2,2,3\).
5. д) \(t^2-3t=t(t-3)\), \(4t^3-t=t(2t-1)(2t+1)\). Общий знаменатель — \(t(2t+1)(t-3)(2t-1)\): \(\dfrac{(t^2-2t-1)(2t-1)-(t^2+5)(t-3)}{t(2t+1)(t-3)(2t-1)}=\dfrac{t^3-2t^2-5t+16}{t(2t+1)(t-3)(2t-1)}\), где \(t\ne0,3,- frac12, frac12\).
6. е) Поскольку \(1-x=-(x-1)\), второе слагаемое равно \(-\dfrac{4}{5x(x-1)}\). Тогда \(\dfrac{5(x+2)-12(x+3)}{15x(x-1)(x+3)}=-\dfrac{7x+26}{15x(x-1)(x+3)}\), где \(x\ne0,1,-3\).