45. Разложите на множители: 1) x² + 2xy + y² - 49; 2) a²- 9h² + 6bc - c²; 3) x²y²-xy-x³ + x; 4) Q³ + 8 - a²-2a; 5) 66 - 464 + 126²-9; 6) m³ + 27n³ + m² + 6mn + 9n²; 7) a² + 2ab + b² - c² + 4cd-4d²; 8) a²-b² + 4a + 4.

Решение:

Будем раскладывать выражения на множители пошагово, используя известные формулы и методы.

1. 1) x² + 2xy + y² - 49

   Это выражение можно представить как разность квадратов, где первый квадрат — это (x + y)², а второй квадрат — 7². Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

   (x + y)² - 7² = ((x + y) - 7)((x + y) + 7) = (x + y - 7)(x + y + 7)

2. 2) a² - 9h² + 6bc - c²

   Здесь видно, что 9h² и c² являются квадратами, а 6bc — удвоенное произведение. Это похоже на формулу квадрата разности (b - c)² = b² - 2bc + c², но знаки не совпадают. Попробуем перегруппировать: a² - (9h² - 6bc + c²). Квадрат суммы: (3h - c)² = 9h² - 6hc + c². Но в условии 6bc. Возможно, это другая комбинация. Попробуем a² - (c² - 6bc + 9h²). В данном случае, без дополнительной информации или переформулировки, выражение a² - 9h² + 6bc - c² сложно привести к стандартным формулам разложения. Возможно, в условии опечатка.

3. 3) x²y² - xy - x³ + x

   Вынесем общие множители из групп: xy(xy - 1) - x(x² - 1). Не очень помогает. Попробуем вынести x из последних двух членов: x²y² - xy - x(x² - 1). Еще одна попытка: вынесем x из всего выражения: x(xy - y - x² + 1). Теперь сгруппируем: x(y(x - 1) - (x² - 1)). Разложим x² - 1 как разность квадратов: x(y(x - 1) - (x - 1)(x + 1)). Теперь вынесем общий множитель (x - 1): x(x - 1)(y - (x + 1)). Окончательно: x(x - 1)(y - x - 1).

4. 4) a³ + 8 - a² - 2a

   Сгруппируем слагаемые: (a³ + 8) - (a² + 2a). Используем формулу суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) и вынесем общий множитель a: (a + 2)(a² - 2a + 4) - a(a + 2). Теперь вынесем общий множитель (a + 2): (a + 2)((a² - 2a + 4) - a). Упрощаем выражение в скобках: (a + 2)(a² - 3a + 4).

5. 5) b⁶ - 4b⁴ + 12b² - 9

   Это выражение выглядит как квадрат трехчлена, но с высокими степенями. Попробуем сгруппировать: (b⁶ - 4b⁴) + (12b² - 9). Не очень помогает. Возможно, это квадрат разности (b³ - ...)²? Или (b² - ... )³? Попробуем разложить b⁶ - 9 как разность квадратов: (b³ - 3)(b³ + 3). Оставшиеся члены - 4b⁴ + 12b². Перепишем: b⁶ + 12b² - 9 - 4b⁴. Нет очевидных формул. Предположим, что это квадрат разности, где b⁶ = (b³)² и 9 = 3². Тогда удвоенное произведение 2 * b³ * 3 = 6b³. У нас есть - 4b⁴ + 12b². Попробуем представить b⁶ - 4b⁴ + 12b² - 9 как (b³ - x)². Это b⁶ - 2xb³ + x². Не подходит. Возможно, это квадрат трехчлена для (b²)? (b³)² - 4(b²)² + 12b² - 9. Попробуем сгруппировать иначе: (b⁶ - 9) - 4b²(b² - 3). Снова не подходит. Если предположить, что это (b³ - 3)² = b⁶ - 6b³ + 9 или (b³ + 3)² = b⁶ + 6b³ + 9. Если рассмотреть (b³ - 3 ± ...). В данном случае, без дополнительной информации или переформулировки, выражение b⁶ - 4b⁴ + 12b² - 9 сложно привести к стандартным формулам разложения. Возможно, в условии опечатка.

6. 6) m³ + 27n³ + m² + 6mn + 9n²

   Сгруппируем кубы: (m³ + 27n³). Используем формулу суммы кубов: (m + 3n)(m² - 3mn + 9n²). Теперь посмотрим на оставшуюся часть: m² + 6mn + 9n². Это квадрат суммы: (m + 3n)². Объединяем: (m + 3n)(m² - 3mn + 9n²) + (m + 3n)². Выносим общий множитель (m + 3n): (m + 3n)((m² - 3mn + 9n²) + (m + 3n)). Упрощаем выражение в скобках: (m + 3n)(m² - 3mn + 9n² + m + 3n). Окончательно: (m + 3n)(m² + m - 3mn + 3n + 9n²).

7. 7) a² + 2ab + b² - c² + 4cd - 4d²

   Сгруппируем первые три члена: (a² + 2ab + b²). Это квадрат суммы: (a + b)². Теперь рассмотрим оставшуюся часть: - c² + 4cd - 4d². Вынесем минус: -(c² - 4cd + 4d²). Это квадрат разности: -(c - 2d)². Теперь у нас есть разность квадратов: (a + b)² - (c - 2d)². Используем формулу разности квадратов A² - B² = (A - B)(A + B), где A = (a + b) и B = (c - 2d). Получаем: ((a + b) - (c - 2d))((a + b) + (c - 2d)). Раскроем скобки: (a + b - c + 2d)(a + b + c - 2d).

8. 8) a² - b² + 4a + 4

   Сгруппируем члены, содержащие a: (a² + 4a + 4) - b². Первая группа — это квадрат суммы: (a + 2)². Теперь у нас разность квадратов: (a + 2)² - b². Используем формулу разности квадратов A² - B² = (A - B)(A + B), где A = (a + 2) и B = b. Получаем: ((a + 2) - b)((a + 2) + b). Раскроем скобки: (a - b + 2)(a + b + 2).

Обратите внимание: Некоторые выражения (2 и 5) были сложны для разложения на стандартные множители без дополнительных уточнений или предположений о возможных опечатках в условии.