443. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a}{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{2a}{b}$; б) $\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}\right)\cdot\sqrt{\frac{x}{x+4}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 443. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a}{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{2a}{b}$; б)…$ Фото задания

443. Упростите выражение: а) $\left(\frac{a}{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{2a}{b}$; б) $\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}\right)\cdot\sqrt{\frac{x}{x+4}}$.

Accepted Answer

а) Обозначим $r=\sqrt{a^2-b^2}$. Сложим дроби, используя формулу разности квадратов:

\[\frac{a}{a+r}+\frac{a}{a-r}=\frac{a(a-r)+a(a+r)}{(a+r)(a-r)}=\frac{2a^2}{a^2-r^2}.\]

Так как $r^2=a^2-b^2$, получаем $a^2-r^2=b^2$, поэтому сумма равна $\frac{2a^2}{b^2}$. Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\[\frac{2a^2}{b^2}:\frac{2a}{b}=\frac{2a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{2a}=\frac{a}{b}.\]

б) Обозначим $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{x+4}$. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

\[\frac{u+v}{u-v}+\frac{u-v}{u+v}=\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{u^2-v^2}=\frac{2u^2+2v^2}{x-(x+4)}.\]

Подставляем $u^2=x$, $v^2=x+4$: выражение в скобках равно $-\frac{2x+4}{2}=-(x+2)$. Умножаем на оставшийся множитель:

\[ -(x+2)\sqrt{\frac{x}{x+4}}.\]

Ответ: а) $\frac{a}{b}$; б) $-(x+2)\sqrt{\frac{x}{x+4}}$.

443. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{a}{a+\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{2a}{b}\); б) \(\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+4}}\right)\cdot\sqrt{\frac{x}{x+4}}\).

Ответ: