434. Упростите выражение: a) xⁿ ⋅ x³; б) a² ⋅ aᵐ; в) x ⋅ xⁿ; г) yⁿ : y⁴; д) c⁹ : cᵐ;\(\ne\)) kⁿ : k.

Решение

При упрощении выражений со степенями используем свойства степеней:

• Произведение степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
• Частное степеней с одинаковым основанием: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$ (при $$a \neq 0$$)

а) $$x^n \cdot x^3$$

Используем первое свойство: $$x^n \cdot x^3 = x^{n+3}$$

б) $$a^2 \cdot a^m$$

Используем первое свойство: $$a^2 \cdot a^m = a^{2+m}$$

в) $$x \cdot x^n$$

Поскольку $$x = x^1$$, применяем первое свойство: $$x^1 \cdot x^n = x^{1+n}$$

г) $$y^n : y^4$$

Используем второе свойство: $$y^n : y^4 = y^{n-4}$$ (при $$y \neq 0$$)

д) $$c^9 : c^m$$

Используем второе свойство: $$c^9 : c^m = c^{9-m}$$ (при $$c \neq 0$$)

е) $$k^n : k$$

Поскольку $$k = k^1$$, применяем второе свойство: $$k^n : k^1 = k^{n-1}$$ (при $$k \neq 0$$)

Ответ: а) $$x^{n+3}$$; б) $$a^{2+m}$$; в) $$x^{1+n}$$; г) $$y^{n-4}$$; д) $$c^{9-m}$$; е) $$k^{n-1}$$.